分離拡大の「分離」とは

はじめに

これは、数理の翼OB・OG会である「湧源クラブ」という団体で発行されている会誌「Le puits des puits」の2026年6月号に寄稿した内容を外部向けに少し修正し、公開したものになります。

「分離」という名を冠する分離拡大を幾何的に捉え、実際に点が分離することを、次の三つの言葉がどう関係しているかを通して確認する。

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \text{分離拡大}\text{分離代数}\text{幾何学的被約}}\end{array}$$$$\begin{gathered} \text{分離拡大}\quad \text{分離代数} \quad \text{幾何学的被約} \end{gathered}$$

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注意. ここでいう「分離」は、分離スキームの意味での separated ではなく、体の拡大や代数に対する separable の意味である。
分離スキームとは、射 $X\to S$ の対角射

$$\Delta_{X/S}:X\to X\times_S X$$

が閉埋め込みであることをいう。 これは位相空間における Hausdorff 性に対応する条件であり、基礎体の拡大によって nilpotent が現れるかどうかを測る条件ではない。
たとえば純非分離拡大 $L/k$ に対して

$$\operatorname{Spec} L\to \operatorname{Spec} k$$

は有限射なので分離射である.
しかし $L/k$ は分離拡大ではなく,代数閉包へ基礎体を拡大すると nilpotent が現れることがある.
したがって、separated と separable は名前は似ているが、本質的には異なる概念である.

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分離拡大から分離代数へ

まず体拡大の場合から始める。

定義. 体 $k$ 上の多項式 $f(T)$ が分離多項式であるとは、代数閉包の中で重根を持たないことをいう。

定義. $L/k$ を代数拡大とする。$L/k$ が分離拡大であるとは、任意の $\alpha\in L$ について、$\alpha$ の $k$ 上の最小多項式が分離多項式であることをいう。

注意. 標数 $0$ の体では、既約多項式の微分が $0$ になることはない。したがって標数 $0$ の体の代数拡大はすべて分離的である。有限体も完全体なので、有限体上の代数拡大はすべて分離的である。つまり非分離性が本当に現れるのは、主に正標数の不完全体の上である。

例. $\operatorname{char} k=p>0$ とし、$a\in k$ が $k$ の $p$ 乗でないとする。このとき

$$f(T)=T^p-a$$

は既約になり得るが、形式微分は

$$f'(T)=pT^{p-1}=0$$

である。根を $\alpha$ とすれば、拡大体の中で

$$T^p-a=T^p-\alpha^p=(T-\alpha)^p$$

となるので、$f$ は重根を持つ。したがって $k(\alpha)/k$ は分離拡大でない。このような現象が純非分離拡大の基本例である。

注意. 分離拡大の定義は一見すると「多項式の根の重複」の話だが、代数幾何に入ると次のテンソル積による言い換えが本質的になる。

たとえば $L=k(\alpha)$、$L\simeq k[T]/(f)$ と書けるとする。基礎体を $K$ に拡大すると

$$L\otimes_k K \simeq K[T]/(f)$$

になる。もし $f$ が $K[T]$ で重根を持てば、商環には nilpotent が現れる。反対に $f$ が分離多項式なら、どの拡大体に移しても重根は出ず、したがって被約性が保たれる。

この観点では、分離拡大とは「体としての拡大であって、しかも基礎体の拡大で nilpotent を生まないもの」である。ここから体であることを外すと、自然に分離代数、より一般には分離多元環の定義に至る。

定義. $A$ を有限次元結合 $k$-多元環とする。$A$ が $k$ 上分離多元環であるとは、任意の体拡大 $K/k$ に対して

$$A\otimes_k K$$

が半単純 $K$-多元環であることをいう。

この定義は、体の分離拡大を結合多元環へ拡張したものである。

注意. ここでいう多元環は一般に可換とは限らない意味で用いている。

定義. $A$ を結合 $k$-多元環とする。包絡多元環 $A^e=A\otimes_k A^{\mathrm{op}}$ の元

$$p=\sum_i x_i\otimes y_i$$

が

$$\sum_i x_i y_i=1,\qquad ap=pa\quad(\forall a\in A)$$

を満たすとき、$p$ を分離べき等元という。

注意. この記事では代数幾何との接続を見たいので、以後は可換な場合を主に考える。

証明. 有限次元可換 $k$-代数は Artin 環なので、被約なら有限個の体の直積になり、逆に体の直積は被約である。$\square$

注意. 本稿では、可換な分離多元環を、代数幾何の文脈に合わせて単に分離代数と呼ぶ。

たとえば代数閉包上では、有限可換分離 $k$-代数は有限個の点の直和

$$A\otimes_k \overline{k}\simeq \overline{k}\times\cdots\times\overline{k}$$

のように見える。幾何学的には、分離代数とは「有限個の点からなる $0$ 次元代数多様体で、代数閉包に移しても点が厚くならないもの」である。

分離代数から幾何学的被約へ

次に、有限個の点から一般の $k$-スキームへ視点を移す。代数幾何で自然に現れる対象は、有限個の点だけではなく曲線や曲面である。そのため分離代数の条件を、基礎体拡大後の局所環の言葉に翻訳しておく必要がある。

定義. $k$-代数 $A$ が $k$ 上幾何学的被約であるとは、任意の体拡大 $K/k$ に対して

$$A_K:=A\otimes_k K$$

が被約環であることをいう。

定義. $X$ を $k$ 上のスキームとする。$X$ が幾何学的被約であるとは、任意の体拡大 $K/k$ に対して $X_K$ が被約であることをいう。

証明. 定義より、任意の体拡大 $K/k$ に対して

$$A_K:=A\otimes_k K$$

は半単純 $K$-多元環である。いま $A$ は可換なので $A_K$ も可換であり、可換な有限次元半単純代数は有限個の体の直積である。したがって $A_K$ は被約環である。

一方、$A_K=A\otimes_k K$ と書くと、

$$(\operatorname{Spec} A)_K = \operatorname{Spec} A\times_{\operatorname{Spec} k}\operatorname{Spec} K \simeq \operatorname{Spec} A_K$$

である。右辺の環が被約なので、代数多様体 $(\operatorname{Spec} A)_K$ は被約である。これは任意の体拡大 $K/k$ について成り立つ。よって $\operatorname{Spec} A$ は $k$ 上幾何学的被約である。$\square$

例. $k[x]$ は有限次元 $k$-代数ではないので、上の意味での分離代数ではない。しかし任意の体拡大 $K/k$ に対して

$$k[x]\otimes_k K\simeq K[x]$$

は被約だから、$\mathbb{A}^1_k=\operatorname{Spec} k[x]$ は幾何学的被約である。

非分離性が作る nilpotent

ここまでを踏まえて、「分離」とは何かということを幾何学的に理解するための例を見てみる。

例. $\operatorname{char} k=p>0$ とし、$a\in k$ は $p$ 乗でないとする。$A:=k[T]/(T^p-a)$、$X:=\operatorname{Spec} A$ とおく。$\overline{k}$ の中で $\alpha^p=a$ となる $\alpha$ を取ると、

$$X_{\overline{k}} = \operatorname{Spec}(A\otimes_k \overline{k}) \simeq \operatorname{Spec} \overline{k}[\varepsilon]/(\varepsilon^p)$$

である。$\overline{k}[\varepsilon]/(\varepsilon^p)$ は局所 Artin 環であり、かつ整域でないので $X_{\overline{k}}$ の位相空間は一点だが、構造層には nilpotent 元 $\varepsilon$ がある。つまり代数閉包への基礎体拡大によって、点の個数は変わらずにスキーム構造だけが厚くなる。

一方、分離拡大の具体例として $\mathbb{C}/\mathbb{R}$ を考える。$A=\mathbb{R}[T]/(T^2+1)$ とおくと、$A\simeq \mathbb{C}$ は $\mathbb{R}$ 上の分離代数であり、

$$A\otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} \simeq \mathbb{C}[T]/((T-i)(T+i)) \simeq \mathbb{C}\times \mathbb{C}$$

となる。したがって $X=\operatorname{Spec} A$ は $\mathbb{R}$ 上では一点に見えるが、$X_{\mathbb{C}}=\operatorname{Spec}(A\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C})$ は二つの点に分離する。

この二つの例は、次のように比較できる。

まとめ

おわりに

以上の観点から見ると、分離性とは単に多項式が重根を持たないという条件ではなく、代数閉包に移したあとも点が nilpotent な厚みを持たないという幾何学的条件である。そしてグロタンディークのガロア理論は、まさにそのような「厚みを持たない有限被覆」、すなわち有限エタール被覆を通して空間の対称性を調べる理論である。この意味で、分離拡大から分離代数へ、さらに幾何学的被約性へという流れは、古典的ガロア理論からグロタンディークのガロア理論へ至る入口になっている。

参考文献

• 雪江 明彦 『代数学2 環と体とガロア理論』 日本評論社、2010.
• 松村 英之『可換環論』共立出版、2000.
• Qing Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves, Oxford University Press, 2002.
• Robin Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, Springer, 1977.
• Francis Borceux and George Janelidze, Galois Theories, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Vol. 72, Cambridge University Press, 2001.
• Tamás Szamuely, Galois groups and fundamental groups, Vol. 117, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press, 2009.
• The Stacks Project Authors, Stacks Project. https://stacks.math.columbia.edu/