イデアル化と既約性について

https://math.stackexchange.com/q/4746156

での「既約環のWikiの記事は正確なのかどうか？」という Linuxmetel さんの疑問に対する math54321 氏の回答に，

$$(x) \ltimes E(k)$$

という半直積で使われる記号が使われた対象が登場したが，これはおそらくイデアル化だとおもわれる。以下では，まず，イデアル化について説明する。

<定義>

$R$ を可換環，$M$ を $R$ 加群とする。このとき，$R \oplus M$ は次の演算で環となる：

$$(a, x) + (b, y) = (a + b, x + y), \quad (a, x)(b, y) = (ab, bx + ay)$$

この環を $R$ 上 $M$ のイデアル化 といい，$R \ltimes M$ で表す。

<注意>

写像 $f : R \rightarrow R \ltimes M , x \mapsto (x, 0)$ と $p : R \ltimes M \rightarrow R , (x, a) \mapsto x$ は環の準同型である。ここで，$\operatorname{Ker} p = 0 \times M$ なので，$0 \ltimes M$ は $R \ltimes M$ のイデアルであり， $p$ と $f$ の合成により $M$ を $R \ltimes M$ 加群とみなす。これにより， $R \ltimes M$ 加群として $0 \ltimes M$ と $M$ は同型とみなすことができ，up to iso で $R \ltimes M$ が $R$ 上 $M$ のイデアル化と言えるわけである。

<命題>

次が正しい。

• 1. $0 \ltimes M \cong M$ (as $R \ltimes M$ - $\operatorname{mod}$ )
• 2. $R \ltimes 0 \cong R$ (as ring)
• 3. $(0 \ltimes M)^2 \cong 0$ (as $R \ltimes M$ - $\operatorname{mod}$)
• 4. $R \ltimes M$ が ネーター環であるための必要十分条件は，$R$ がネーターでかつ$R$ 加群 $M$ が有限生成であることである。
• 5. $\operatorname{Spec}(R \ltimes M) = \{\mathfrak{p} \times M \ | \ \mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}(R) \}$

<証明>

1. は前に説明し，2. , 3. , 5. は簡単なので省略し，4. のみ証明する。

$(\Rightarrow)$：$R \ltimes M$ がネーター環なら，環の準同型写像 $p$ により $R$ もネーター環である。1. より，$R \ltimes M$ 加群として $M \cong 0 \ltimes M$ なので $0 \ltimes M$ の $R \ltimes M$ 加群としての有限生成性から，$M$ も $R \ltimes M$ 加群として 有限生成であることがわかる。

$(\Leftarrow )$：$f : R \rightarrow R \ltimes M$ により，$R \ltimes M$ を $R$ 加群とみなすと，$R \ltimes M = R \oplus M$ であるから，これは有限生成である。$R \ltimes M$ のイデアルも $R$ 加群とみなすと，それは $R$ がネーター環であることから $R$ 加群として有限生成であり，よって$R \ltimes M$ 加群としても有限生成である。$R \ltimes M$ の任意のイデアルが有限生成なので $R \ltimes M$ はネーター環である。