ネーター加群の全射自己準同型と片側ネーター環における左逆元

1. 主張

この記事では次の二つの事実を証明する。

まず、$M$ をネーター $A$-加群とし、$f : M \to M$ を全射な $A$-加群準同型とする。このとき、$f$ は同型である。

次に、この結果を用いて、片側ネーター環 $A$ の元 $a,b \in A$ について、$ab=1$ ならば $ba=1$ であることを示す。

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2. ネーター加群の全射自己準同型は同型である

命題

$M$ をネーター $A$-加群とする。$A$-加群準同型 $f : M \to M$ が全射ならば、$f$ は同型である。

証明

$f$ が同型であることを示すには、全射性は仮定しているので、単射性を示せばよい。

各 $n \geq 1$ に対して、

$$K_n := \ker(f^n)$$

とおく。このとき、

$$K_1 \subset K_2 \subset K_3 \subset \cdots$$

という $M$ の部分加群の上昇列を得る。

実際、$x \in K_n$ ならば $f^n(x)=0$ であるから、

$$f^{n+1}(x)=f(f^n(x))=0$$

となり、$x \in K_{n+1}$ である。したがって $K_n \subset K_{n+1}$ である。

ここで $M$ はネーター加群なので、部分加群の上昇列条件を満たす。したがって、ある $N \geq 1$ が存在して、

$$K_N = K_{N+1} = K_{N+2} = \cdots$$

となる。

この安定した部分加群を

$$K := K_N = \ker(f^N)$$

とおく。

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3. 安定した核 $K$ に対する考察

まず、$f(K)=K$ を示す。

$x \in K$ とすると、$f^N(x)=0$ である。したがって、

$$f^N(f(x))=f^{N+1}(x)=0$$

なので、$f(x) \in K$ である。ゆえに $f(K) \subset K$ である。

逆に、$y \in K$ をとる。$f : M \to M$ は全射なので、ある $x \in M$ が存在して、$f(x)=y$となる。

このとき $y \in K=\ker(f^N)$ だから、$f^N(y)=0$である。

したがって、

$$f^{N+1}(x)=f^N(f(x))=f^N(y)=0$$

となる。

よって $x \in K_{N+1}$ である。

しかし $K_{N+1}=K_N=K$ だから、$x \in K$ である。したがって $y=f(x) \in f(K)$ である。

以上より、

$$f(K)=K$$

が成り立つ。

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4. Nakayama の補題を利用する

$K=\ker(f^N)$ なので、$K$ 上では $f^N=0$ である。

ここで、$K$ を $A[T]/(T^N)$-加群とみなす。ただし、$T$ の作用を $f$ によって定める。つまり、

$$T \cdot x := f(x)$$

とする。

$K$ 上では $f^N=0$ なので、

$$T^N \cdot x = 0$$

であり、この作用は確かに $A[T]/(T^N)$-加群構造を定める。

（この、$A$ 加群 $M$ を $f \colon M \to M$ を用いて $A[T]$-加群とみなすのは、松村可換環論などでよく見られるように、可換環論の基本的なものある。）

また、先ほど示した $f(K)=K$ は、この加群構造のもとで

$$K = TK$$

を意味する。

ここで、$R := A[T]/(T^N)$ とおく。イデアル $(T) \subset R$ は nilpotent である。実際、

$$(T)^N=0$$

である。したがって $(T)$ は $R$ の Jacobson 根基に含まれる。

また、$M$ はネーター加群なので、その部分加群 $K$ もネーター加群である。特に $K$ は有限生成 $A$-加群であり、したがって有限生成 $R$-加群でもある。

よって Nakayama の補題を $R$-加群 $K$ とイデアル $(T)$ に適用すると、$K=(T)K$であることから、

$$K=0$$

が従う。

したがって、

$$\ker(f) \subset \ker(f^N)=K=0$$

である。ゆえに $\ker(f)=0$ である。

つまり $f$ は単射である。仮定より $f$ は全射でもあるので、$f$ は同型である。

以上で命題が示された。

※ 最後の単射性は蛇の補題を用いれば証明を短くできる。

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5. 左ネーター環への応用（右ネーターも同様に可能）

次に、片側ネーター環 $A$ の元 $a,b \in A$ について、$ab=1$ ならば $ba=1$ であることを示す。

$A$ が左ネーター環である場合を考える。

このとき、$A$ は左 $A$-加群としてネーターである。

写像

$$\rho_b : A \to A$$

を

$$\rho_b(x) := xb$$

によって定める。これは右から $b$ を掛ける写像である。

この写像は左 $A$-加群準同型である。実際、任意の $\alpha,x \in A$ に対して、

$$\rho_b(\alpha x) = (\alpha x)b = \alpha(xb)=\alpha \rho_b(x)$$

である。

次に、$\rho_b$ が全射であることを示す。任意の $x \in A$ に対して、$ab=1$ より、

$$x = x \cdot 1 = x(ab) = (xa)b = \rho_b(xa)$$

である。したがって $\rho_b$ は全射である。

$A$ は左 $A$-加群としてネーターなので、先ほどの命題より、全射自己準同型 $\rho_b$ は同型である。特に $\rho_b$ は単射である。

ここで、

$$(ba-1)b = bab-b = b(ab)-b = b-b=0$$

である。つまり、

$$\rho_b(ba-1)=0$$

である。

$\rho_b$ は単射だから、

$$ba-1=0$$

である。したがって、

$$ba=1$$

が従う。

※ この主張自体は、ネーター加群の全射自己準同型性という牛刀割鶏な手法を用いなくても、$K = (T)K = \cdots (T^n) = 0$ を用いて元をこねくり回せばもっと手短に証明できる。

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6. Dedekind-finite について

ここまでで示した性質は、環論では Dedekind-finite や co-Hopfian と呼ばれる。

定義

単位元をもつ環 $A$ が Dedekind-finite であるとは、任意の $a,b \in A$ に対して、$ab=1$ ならば $ba=1$ が成り立つことをいう。

つまり、$a$ が $b$ の左逆元であり、$b$ が $a$ の右逆元であるならば、それらは自動的に両側逆元になる、という性質である。

言い換えると、Dedekind-finite な環では、片側逆元をもつ元は必ず両側逆元をもつ。

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7. Dedekind-finite の直感

Dedekind-finite という性質は、有限集合における写像の性質の環論的類似と見ることができる。

有限集合 $X$ 上の写像 $f : X \to X$ について、$f$ が全射ならば単射でもある。したがって、全射自己写像は全単射になる。

今回の議論では、ネーター加群が「有限性条件」を担っている。

実際、ネーター加群 $M$ 上の全射自己準同型

$$f : M \to M$$

は、核の上昇列

$$\ker(f) \subset \ker(f^2) \subset \ker(f^3) \subset \cdots$$

が停止するため、Nakayama の補題を用いることで単射であることが分かった。

つまり、ネーター性は、有限集合における「全射なら単射」という性質に対応する代数的な有限性条件である。

そして、この有限性条件を環 $A$ 自身に加群として適用すると、

$$ab=1 \implies ba=1$$

が得られる。

したがって、片側ネーター環は Dedekind-finite になる。

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8. その他のDedekind-finiteな環の例（有限環）

単位元をもつ有限環 $A$ は Dedekind-finite である。

実際、$ab=1$ とする。写像

$$\rho_b : A \to A,\quad x \mapsto xb$$

を考える。

任意の $x \in A$ に対して、

$$x=xab=(xa)b$$

であるから、$\rho_b$ は全射である。

しかし $A$ は有限集合なので、全射写像は単射でもある。

そこで、

$$(ba-1)b=bab-b=b(ab)-b=b-b=0$$

より、

$$\rho_b(ba-1)=0$$

である。$\rho_b$ は単射だから、

$$ba-1=0$$

となる。したがって

$$ba=1$$

である。

よって有限環は Dedekind-finite である。

（まあ、有限環はアルティンなので、アルティンならばネーターを用いればすぐなんですがね〜）

9. Dedekind-finite でない環の例

Dedekind-finite でない環の典型例は、無限次元ベクトル空間の自己準同型環である。

$V$ を体 $k$ 上の可算無限次元ベクトル空間とし、基底を

$$e_1,e_2,e_3,\dots$$

とする。

写像 $S,T : V \to V$ を

$$S(e_i)=e_{i+1}$$

および

$$T(e_1)=0,\quad T(e_{i+1})=e_i$$

で定める。

このとき、$T$ は左シフト、$S$ は右シフトである。

計算すると、任意の $i \geq 1$ に対して

$$T S(e_i)=T(e_{i+1})=e_i$$

であるから、

$$TS=\operatorname{id}_V$$

である。

一方、

$$ST(e_1)=S(0)=0$$

であり、これは $e_1$ とは異なる。したがって

$$ST \neq \operatorname{id}_V$$

である。

よって

$$TS=1$$

だが

$$ST \neq 1$$

である。

したがって、$\operatorname{End}_k(V)$ は Dedekind-finite ではない。

この例は、Dedekind-finite 性がある種の「有限性条件」と深く関係していることを示している。

10. 参考文献

• 松村英之『可換環論』共立出版.
• T. Y. Lam, A First Course in Noncommutative Rings, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 131, Springer, 2001.
• Wikipedia contributors, “Dedekind-finite ring,” Wikipedia, The Free Encyclopedia. URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind-finite_ring
• nLab, “finite object.” URL: https://ncatlab.org/nlab/show/finite+object
• nLab, “Hopfian group.” 　URL: https://ncatlab.org/nlab/show/Hopfian+group