$f$ が同型であることを示すには、全射性は仮定しているので、単射性を示せばよい。

各 $n \geq 1$ に対して、

とおく。このとき、

という $M$ の部分加群の上昇列を得る。

実際、$x \in K_n$ ならば $f^n(x)=0$ であるから、

となり、$x \in K_{n+1}$ である。したがって $K_n \subset K_{n+1}$ である。

ここで $M$ はネーター加群なので、部分加群の上昇列条件を満たす。したがって、ある $N \geq 1$ が存在して、

となる。

この安定した部分加群を

とおく。

2.1. 安定した核 $K$ に対する考察

まず、$f(K)=K$ を示す。

$x \in K$ とすると、$f^N(x)=0$ である。したがって、

なので、$f(x) \in K$ である。ゆえに $f(K) \subset K$ である。

逆に、$y \in K$ をとる。$f : M \to M$ は全射なので、ある $x \in M$ が存在して、$f(x)=y$となる。

このとき $y \in K=\ker(f^N)$ だから、$f^N(y)=0$である。

したがって、

となる。

よって $x \in K_{N+1}$ である。

しかし $K_{N+1}=K_N=K$ だから、$x \in K$ である。したがって $y=f(x) \in f(K)$ である。

以上より、

が成り立つ。

2.2. Nakayama の補題を利用する

$K=\ker(f^N)$ なので、$K$ 上では $f^N=0$ である。

ここで、$K$ を $A[T]/(T^N)$-加群とみなす。ただし、$T$ の作用を $f$ によって定める。つまり、

とする。

$K$ 上では $f^N=0$ なので、

であり、この作用は確かに $A[T]/(T^N)$-加群構造を定める。

（この、$A$ 加群 $M$ を $f \colon M \to M$ を用いて $A[T]$-加群とみなすのは、松村可換環論などでよく見られるように、可換環論の基本的なものある。）

また、先ほど示した $f(K)=K$ は、この加群構造のもとで

を意味する。

ここで、$R := A[T]/(T^N)$ とおく。イデアル $(T) \subset R$ は nilpotent である。実際、

である。したがって $(T)$ は $R$ の Jacobson 根基に含まれる。

また、$M$ はネーター加群なので、その部分加群 $K$ もネーター加群である。特に $K$ は有限生成 $A$-加群であり、したがって有限生成 $R$-加群でもある。

よって Nakayama の補題を $R$-加群 $K$ とイデアル $(T)$ に適用すると、$K=(T)K$であることから、

が従う。

したがって、

である。ゆえに $\ker(f)=0$ である。

つまり $f$ は単射である。仮定より $f$ は全射でもあるので、$f$ は同型である。

以上で命題が示された。

※ 最後の単射性は蛇の補題を用いれば証明を短くできる。

$A$ が左ネーター環である場合を考える。

このとき、$A$ は左 $A$-加群としてネーターである。

写像

を

によって定める。これは右から $b$ を掛ける写像である。

この写像は左 $A$-加群準同型である。実際、任意の $\alpha,x \in A$ に対して、

である。

次に、$\rho_b$ が全射であることを示す。任意の $x \in A$ に対して、$ab=1$ より、

である。したがって $\rho_b$ は全射である。

$A$ は左 $A$-加群としてネーターなので、先ほどの命題より、全射自己準同型 $\rho_b$ は同型である。特に $\rho_b$ は単射である。

ここで、

である。つまり、

である。

$\rho_b$ は単射だから、

である。したがって、

が従う。

※ この主張自体は、ネーター加群の全射自己準同型性という牛刀割鶏な手法を用いなくても、$K = (T)K = \cdots (T^n) = 0$ を用いて元をこねくり回せばもっと手短に証明できる。

実際、ネーター加群 $M$ 上の全射自己準同型

は、核の上昇列

が停止するため、Nakayama の補題を用いることで単射であることが分かった。

つまり、ネーター性は、有限集合における「全射なら単射」という性質に対応する代数的な有限性条件である。

そして、この有限性条件を環 $A$ 自身に加群として適用すると、

が得られる。

したがって、片側ネーター環は Dedekind-finite になる。

実際、$ab=1$ とする。写像

を考える。

任意の $x \in A$ に対して、

であるから、$\rho_b$ は全射である。

しかし $A$ は有限集合なので、全射写像は単射でもある。

そこで、

より、

である。$\rho_b$ は単射だから、

となる。したがって

である。

よって有限環は Dedekind-finite である。

（まあ、有限環はアルティンなので、アルティンならばネーターを用いればすぐなんですがね〜）

$V$ を体 $k$ 上の可算無限次元ベクトル空間とし、基底を

とする。

写像 $S,T : V \to V$ を

および

で定める。

このとき、$T$ は左シフト、$S$ は右シフトである。

計算すると、任意の $i \geq 1$ に対して

であるから、

である。

一方、

であり、これは $e_1$ とは異なる。したがって

である。

よって

だが

である。

したがって、$\operatorname{End}_k(V)$ は Dedekind-finite ではない。