Rigidity Conjecture（剛性予想）

2026/05/03の夜に松村のゼミがあり、正則環の節を進めました。 Rigidity 予想という以下の予想が登場しました。 （最初私は、一瞬、Rigid geo. っぽい文脈なのかなと思いましたが、全く関係ないことがすぐにわかりました。最初、力学系の話が初出なのかとも思いましたが、よく読むと全く関系ないです。）

局所環 $(A, \mathbb{m})$ と、 f.g. $A$-加群 $M, N$ であって $\operatorname{proj.dim} M < \infty$, $\operatorname{proj.dim} N < \infty$ を満たすものとすると、$\operatorname{Tor}^{n}(M,N) = 0$ を満たすような $n$ が存在するならば、任意の $i \geq n$ に対して$\operatorname{Tor}^{n}(M,N) = 0$ である。

これがなぜRigidityという予想なのかというと、

We say that the pair $(M,N)$ of finitely generated $R$-$\hspace{0pt}$modules is rigid provided the vanishing of $\operatorname{Tor}^{j}(M, N)$ for some $j \geq 1$ forces $\operatorname{Tor}^{i}(M, N) = 0$ for all $i \geq j$.

という性質を rigid というかららしいです。松村にはこの定義は載っていなかったので......しかしながら、なぜこれが剛性というに相応しい性質なのかはわかりません。

参考になりそうな資料をあげておきます。

Vanishing of Tor, and why we care about it

ちなみに、

局所環 $(A, \mathbb{m})$ と、 f.g. $A$-加群 $M, N$ であって $M$ は $\operatorname{proj.dim} M < \infty$ を満たすものとすると、$\operatorname{Tor}^{n}(M,N) = 0$ を満たすような $n$ が存在するならば、任意の $i \geq n$ に対して$\operatorname{Tor}^{n}(M,N) = 0$ である。

という $N$ に関する射影次元の有限性を仮定しない場合には、1993年に

A counterexample to the rigidity conjecture for rings

で反例が作られています。

このRigidity 予想ですが、ホモロジカル予想という一連の予想群の火種役らしいです。関連する予想として以下のようなものがあるらしいです:

• 零因子予想
• 交差予想
• 直和因子予想
• 単項式予想
• bigCM予想
• smallCM予想 などなど他にもたくさんあるらしいです。主張自体は理解できますが、よくわかりません。

安藤 遼哉さんの以下の記事/資料にある程度書いてあります。

可換環論

ホモロジカル予想のおはなし