Condensed Mathematics Seminar Note / 凝縮数学ゼミノート -4 (Condensed abelian groups / 凝縮アーベル群)

概要

身内の中で勝手に私が凝縮数学について喋るゼミのノートをLaTeX化したものです。
まだまだ浅学なので、多分に誤植が含まれていますがご容赦ください。もし誤植を見つけた方は、私まで連絡していただけると大変嬉しいです。

LuaLaTeXで書いたものは以下で入手できます。

pdfバージョン(2026/07/14 : v2公開)

凝縮数学ゼミノートの一覧です:

凝縮数学ゼミノートまとめ

Condensed abelian groups

定義 4.1

$\mathcal C=\operatorname{Ab},\operatorname{Ring},\operatorname{Alg},\ldots$ のように、有限直積を用いて演算と公理が記述される代数的構造の圏とする。 $\kappa$ -condensed $\mathcal C$ -object とは $*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ 上の $\mathcal C$ 値層のことであり、その圏を

\operatorname{Cond}_\kappa(\mathcal C):=\operatorname{Sh}_{\mathcal C}(*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}})

と書く。

定理 4.2

定義 4.1 の $\mathcal C$ に対して

\operatorname{Sh}_{\mathcal C}(\operatorname{Extr}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}}) \simeq \operatorname{Cond}_\kappa(\mathcal C)

が成り立つ。

証明

命題 2.17 と Sch26b（Proposition 2.17）より、 $\operatorname{Sh}(\operatorname{Extr}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}})$ と $\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Set})$ の同値は有限直積を保つ。実際、この同値の下では、有限直積の保存は空対象と二項直積の保存という有限個の図式に関する条件である。したがって群・環・代数など、有限直積だけで演算と公理を記述できる代数的構造を対象に与えることは、同値の前後で同じデータを与えることになる。例えば

\operatorname{Ab}\bigl(\operatorname{Sh}(\operatorname{Extr}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}})\bigr) \simeq \operatorname{Ab}\bigl(\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Set})\bigr)

一般の site $\mathcal E$ に対して $\operatorname{Sh}_{\operatorname{Ab}}(\mathcal E)\simeq\operatorname{Ab}(\operatorname{Sh}(\mathcal E))$ であるから、主張が従う。

□

定義 4.3

full condensed $\mathcal C$ -objects の圏を $\operatorname{Cond}(\mathcal C):=\operatorname*{colim}_{\kappa}\operatorname{Cond}_\kappa(\mathcal C)$ と定める。定理 4.2 の圏同値のもとで、遷移関手は $\operatorname{Extr}_\kappa$ の包含に沿う左 Kan 拡張で与えられる。

定義 4.4

アーベル圏の対象 $M$ が compact であるとは、関手 $\operatorname{Hom}(M,-)$ が filtered colimit を保つことをいう。

定義 4.5

任意の $T\in\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Set})$ に対して、自由 condensed abelian group を $\mathbb Z[T]:=\left(S\longmapsto\mathbb Z[T(S)]\right)^\dagger$ と書く。ここで $(-)^\dagger$ は前層の層化を表す。この構成は忘却関手 $U\colon\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Ab})\to\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Set})$ の左随伴である。

主に用いる代数的対象は、extremally disconnected compact Hausdorff space 上で値を評価するだけでよい。

定理 4.6 — Sch26b（Theorem 2.2）

$\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Ab})$ は次の性質を持つ Grothendieck abelian category である。

任意の小さい colimit を持つ。
任意の小さい limit を持つ。
coproduct は exact である。
product は exact である。
filtered colimit は exact である。
集合 $J$ 、filtered categories $I_j$ 、および filtered diagrams $(M_{j,i_j})_{i_j\in I_j}$ に対して、自然な射
$\operatorname*{colim}_{(i_j)\in\prod_{j\in J}I_j} \prod_{j\in J}M_{j,i_j} \xrightarrow{\ \sim\ } \prod_{j\in J}\operatorname*{colim}_{i_j\in I_j}M_{j,i_j}$
は同型である。

また、 $\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Ab})$ は compact projective objects により生成される。

証明

定理 4.2 により $\operatorname{Sh}_{\operatorname{Ab}}(\operatorname{Extr}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}})$ で考えればよい。 $\operatorname{Extr}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}}$ の小さい skeleton を一つ固定する。前節の層条件の記述により、この圏は

F(\emptyset)=0,\qquad F(T_1\amalg T_2)\simeq F(T_1)\times F(T_2)

(21)

を満たす $\operatorname{Ab}$ 値関手の圏とみなせる。

$\operatorname{Ab}$ では有限直積と有限直和が一致する。このため、関手圏で点ごとに計算した任意の積、直和、kernel、cokernel は (21) を保つ。従って任意の小さい limit と colimit が存在し、いずれも各点で計算される。特に image と coimage も点ごとに計算され、 $\operatorname{Ab}$ における $\operatorname{Coim}\simeq\operatorname{Im}$ から $\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Ab})$ は abelian category である。

$\operatorname{Ab}$ では任意の積と任意の直和が exact であり、filtered colimit も exact である。これらを各点で評価すれば、(Ab3)、(Ab3 $^*$ )、(Ab4)、(Ab4 $^*$ )、(Ab5) が従う。

(Ab6) は各 $S$ で $\operatorname{Ab}$ における自然な写像

\operatorname*{colim}_{(i_j)\in\prod_{j\in J}I_j} \prod_{j\in J}M_{j,i_j} \longrightarrow \prod_{j\in J}\operatorname*{colim}_{i_j\in I_j}M_{j,i_j}

が同型であることに帰着する。右辺の元について各成分の代表元 $a_j\in M_{j,i_j}$ を選べば、左辺の元 $[(a_j)_{j\in J}]_{(i_j)}$ を得る。代表元を変えても、各 $j$ について filteredness により共通の段階 $k_j$ で像を一致させられるので、積添字圏の対象 $(k_j)_{j\in J}$ で二つの代表元は一致する。従ってこの対応は矛盾なく定まり、明らかに上の写像の逆である。よって (Ab6) が成り立つ。

最後に compact projective generators を構成する。固定した skeleton の対象 $S$ に対し、 representable condensed set $\underline S$ に自由関手を適用した対象を、略して $\mathbb Z[S]$ と書く。自由関手との随伴と Yoneda の補題から

\operatorname{Hom}_{\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Ab})}(\mathbb Z[S],M) \simeq \operatorname{Hom}_{\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Set})}(\underline S,U(M)) \simeq M(S)

である。評価関手 $M\mapsto M(S)$ は点ごとの計算から exact であり、filtered colimit を保つ。従って $\mathbb Z[S]$ は projective かつ compact である。

生成性を確認する。零でない $M$ を取ると、ある skeleton の対象 $S$ に対して $M(S)\neq0$ である。上の同型により $\operatorname{Hom}(\mathbb Z[S],M)\neq0$ となるので、 $\{\mathbb Z[S]\}_S$ は生成族である。従って $\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Ab})$ は compact projective objects により生成され、特に Grothendieck abelian category である。

□

定義 4.7

$M,N\in\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Ab})$ に対し、symmetric monoidal tensor product を

M\otimes N:=\left(S\longmapsto M(S)\otimes_{\mathbb Z}N(S)\right)^\dagger

と定める。右辺の $(-)^\dagger$ は前層の層化を表す。

一般に $(M\otimes N)(S)$ が $M(S)\otimes_{\mathbb Z}N(S)$ と一致するわけではない。

注意 4.8

層化の普遍性から、任意の $P\in\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Ab})$ に対して

\operatorname{Hom}_{\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Ab})}(M\otimes N,P) \simeq \operatorname{Bilin}(M,N;P)

が成り立つ。右辺は前層 $S\mapsto M(S)\otimes_{\mathbb Z}N(S)$ から $P$ への射、すなわち双線形写像全体を表す。

実際、 $Q(S):=M(S)\otimes_{\mathbb Z}N(S)$ とおく。層の包含関手を $\iota$ と書くと $M\otimes N=Q^\dagger$ であり、随伴から

\operatorname{Hom}_{\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Ab})}(Q^\dagger,P) \simeq \operatorname{Hom}_{\operatorname{PSh}_{\operatorname{Ab}}(\operatorname{Extr}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}})}(Q,\iota P)

となる。各 $S$ で自由 abelian group の tensor product からの写像は双線形写像と一対一に対応するため、右辺は $M,N$ から $P$ への自然な双線形写像の集合である。

命題 4.9

$T_1,T_2\in\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Set})$ に対して、

\mathbb Z[T_1]\otimes\mathbb Z[T_2]\simeq\mathbb Z[T_1\times T_2]

が成り立つ。

証明

忘却関手を $U\colon\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Ab})\longrightarrow\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Set})$ と書く。また、 $T_i$ に付随する自由 abelian group の前層を

\mathcal P_i\colon \operatorname{Extr}_\kappa^{\operatorname{op}}\longrightarrow\operatorname{Ab}, \qquad S\longmapsto\mathbb Z[T_i(S)] \qquad (i=1,2)

とおく。定義により $\mathbb Z[T_i]=\mathcal P_i^\dagger$ である。

まず、任意の $M\in\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Ab})$ に対して自然な全単射

\operatorname{Bilin} \bigl(\mathbb Z[T_1],\mathbb Z[T_2];M\bigr) \simeq \operatorname{Hom}_{\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Set})} \bigl(T_1\times T_2,U(M)\bigr)

(22)

が存在することを示す。

自由 condensed abelian group の unit を

\eta_i\colon T_i\longrightarrow U\bigl(\mathbb Z[T_i]\bigr), \qquad t_i\longmapsto[t_i]

と書く。双線形写像 $b\colon \mathbb Z[T_1]\times\mathbb Z[T_2]\longrightarrow M$ が与えられたとき、 $\eta_1\times\eta_2$ と合成することにより

T_1\times T_2 \xrightarrow{\ \eta_1\times\eta_2\ } U\bigl(\mathbb Z[T_1]\bigr) \times U\bigl(\mathbb Z[T_2]\bigr) \xrightarrow{\ U(b)\ } U(M)

を得る。 $S\in\operatorname{Extr}_\kappa$ 上では、この写像は $(t_1,t_2)\longmapsto b_S([t_1],[t_2])$ で与えられる。これにより (22) の左辺から右辺への写像が定まる。

逆に、condensed sets の射 $f\colon T_1\times T_2\longrightarrow U(M)$ が与えられたとする。各 $S\in\operatorname{Extr}_\kappa$ に対し、写像 $f_S\colon T_1(S)\times T_2(S)\longrightarrow M(S)$ を、二つの変数について自由 abelian group 上へ双線形に延長する。すなわち

\begin{aligned} \widetilde b_S\colon \mathbb Z[T_1(S)]\times\mathbb Z[T_2(S)] &\longrightarrow M(S),\\ \left(\sum_{i=1}^r n_i[t_i], \sum_{j=1}^s m_j[u_j]\right) &\longmapsto \sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^s n_im_j\,f_S(t_i,u_j) \end{aligned}

と定める。

$f$ は condensed sets の射、すなわち自然変換であるから、任意の射 $g\colon S'\to S$ に対して $g^*f_S(t_1,t_2)=f_{S'}(g^*t_1,g^*t_2)$ が成り立つ。従って $\widetilde b_S$ も $S$ に関して自然であり、前層の双線形な自然変換 $\widetilde b\colon \mathcal P_1\times\mathcal P_2\longrightarrow M$ を定める。

層化関手 $(-)^\dagger$ は有限極限、特に有限直積を保つので、

(\mathcal P_1\times\mathcal P_2)^\dagger \simeq \mathcal P_1^\dagger\times\mathcal P_2^\dagger = \mathbb Z[T_1]\times\mathbb Z[T_2]

また $M$ は層であるから、層化の普遍性により $\widetilde b$ は一意的に写像 $b\colon \mathbb Z[T_1]\times\mathbb Z[T_2] \longrightarrow M$ へ延長される。

この延長は各変数について加法的である。実際、加法性は例えば第一変数について $b(x+x',y)=b(x,y)+b(x',y)$ という図式の可換性で表される。この図式は $\mathcal P_1\times\mathcal P_1\times\mathcal P_2$ 上では $\widetilde b$ の構成から可換であり、層化後にも可換である。第二変数についても同様である。従って $b$ は双線形写像である。

以上の二つの構成が互いに逆であることを確認する。 $f$ から構成した $b$ は生成元上で $b_S([t_1],[t_2])=f_S(t_1,t_2)$ を満たすので、 $b$ を再び $T_1\times T_2$ に制限すると $f$ に戻る。逆に、もとの双線形写像 $b$ は各 $S$ において生成元の値 $b_S([t_1],[t_2])$ によって一意に決まり、その値から作った $\widetilde b$ の層化は、層化の一意性により再び $b$ となる。これで自然な全単射 (22) が示された。

ここで任意の $M\in\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Ab})$ に対し、tensor product の普遍性、 (22)、および自由・忘却随伴を順に用いると

\begin{aligned} \operatorname{Hom}_{\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Ab})} \bigl(\mathbb Z[T_1]\otimes\mathbb Z[T_2],M\bigr) &\simeq \operatorname{Bilin} \bigl(\mathbb Z[T_1],\mathbb Z[T_2];M\bigr)\\ &\simeq \operatorname{Hom}_{\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Set})} \bigl(T_1\times T_2,U(M)\bigr)\\ &\simeq \operatorname{Hom}_{\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Ab})} \bigl(\mathbb Z[T_1\times T_2],M\bigr) \end{aligned}

これらの同型は $M$ に関して自然である。従って Yoneda の補題により $\mathbb Z[T_1]\otimes\mathbb Z[T_2] \simeq \mathbb Z[T_1\times T_2]$ を得る。

この同型は具体的には、各 $S\in\operatorname{Extr}_\kappa$ において生成元を $[t_1]\otimes[t_2] \longmapsto [(t_1,t_2)]$ と送る自然な同型である。

□

命題 4.10

任意の $T\in\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Set})$ に対して、 $\mathbb Z[T]$ は flat である。

証明

前層 $\mathcal P_T\colon S\longmapsto\mathbb Z[T(S)]$ を考えると、定義から $\mathbb Z[T]=\mathcal P_T^\dagger$ である。tensor product の定義と層化の普遍性により、任意の condensed abelian group $M$ について

\mathbb Z[T]\otimes M \simeq \bigl(S\longmapsto\mathcal P_T(S)\otimes_{\mathbb Z}M(S)\bigr)^\dagger

(23)

各 $S$ に対して $\mathcal P_T(S)=\mathbb Z[T(S)]$ は free abelian group、従って flat abelian group である。よって短完全列 $0\longrightarrow M'\longrightarrow M\longrightarrow M''\longrightarrow0$ を各点で評価して $\mathcal P_T(S)$ との tensor product を取ると、再び短完全列を得る。層化は abelian group 値前層の圏で exact であるから、 (23) を用いて

0\longrightarrow \mathbb Z[T]\otimes M' \longrightarrow \mathbb Z[T]\otimes M \longrightarrow \mathbb Z[T]\otimes M'' \longrightarrow0

が完全となる。従って $\mathbb Z[T]$ は flat である。

□

命題 4.11

tensor--Hom 随伴により、 $M,N\in\operatorname{Cond}(\operatorname{Ab})$ に対して内部 Hom $\underline{\operatorname{Hom}}(M,N)\in\operatorname{Cond}(\operatorname{Ab})$ が定まる。従って $\operatorname{Cond}(\operatorname{Ab})$ は closed symmetric monoidal category である。

証明

まず cardinal $\kappa$ を固定する。定理 4.6 により $\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Ab})$ は Grothendieck abelian category、特に locally presentable category である。 $M\in\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Ab})$ に対し $-\otimes M$ は小さい colimit を保つ。実際、colimit は各点で計算でき、 $\operatorname{Ab}$ における $-\otimes_{\mathbb Z}M(S)$ と層化はともに colimit を保つからである。随伴関手定理により、この関手は右随伴を持つ。これを $\underline{\operatorname{Hom}}(M,-)$ と書けば、自然な同型

\operatorname{Hom}(P,\underline{\operatorname{Hom}}(M,N)) \simeq \operatorname{Hom}(P\otimes M,N)

(24)

を得る。

この対象の値は free generators を用いて具体的にも書ける。すなわち $S\in\operatorname{Extr}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}}$ に対して

\begin{aligned} \underline{\operatorname{Hom}}(M,N)(S) &\simeq \operatorname{Hom}\bigl(\mathbb Z[S],\underline{\operatorname{Hom}}(M,N)\bigr) \\ &\simeq \operatorname{Hom}\bigl(\mathbb Z[S]\otimes M,N\bigr) \end{aligned}

第一の同型は $\mathbb Z[S]$ の自由性、第二の同型は (24) による。

一般の $M,N\in\operatorname{Cond}(\operatorname{Ab})$ に対しては、両者を定義する共通の十分大きい $\kappa$ を選び、上の構成を適用する。cardinal をさらに大きくしてもこの構成は free generators と tensor product の遷移に可換する。従って得られる対象は $\operatorname{Cond}(\operatorname{Ab})$ において cardinal の選び方によらず、(24) を満たす。これが主張する内部 Hom である。

□

注意 4.12

Sch19（Warning 2.8）では、condensed abelian group の derived category について、次のように述べられていたが、Sch26bでは削除されている。

It is probably not true that $D(\operatorname{Cond}(\operatorname{Ab}))\cong\operatorname{Cond}(D(\operatorname{Ab}))$ ; for example, the right side has no a priori reason to even be a triangulated category, as categories of diagrams in a triangulated category are usually not triangulated (by the failure of functoriality of cones). Passing to $\infty$ -categories resolves the issue, i.e. the derived $\infty$ -category $D(\operatorname{Cond}(\operatorname{Ab}))$ is indeed equivalent to $\operatorname{Cond}(D(\operatorname{Ab}))$ ; this is a general fact about sheaves of complexes on sites. Here, for any $\infty$ -category $\mathcal C$ , we define $\operatorname{Cond}(\mathcal C)$ as contravariant functors from extremally disconnected sets to $\mathcal C$ taking finite disjoint unions to finite products (plus the set-theoretic condition explained in the appendix to this lecture)."

- Sch19（Warning 2.8）

これはおそらく、Sch26a（Lemma 11.8）でより一般の $\infty$ -category に対して証明されているからだと思われる。

Let $\mathcal C$ be a category that is generated under small colimits by $\mathcal C^{\mathrm{cp}}$ . Then $\operatorname{Cond}(\mathcal C)$ is still generated under small colimits by its compact projective objects, and there is a natural equivalence of $\infty$ -categories

$\operatorname{Cond}(\operatorname{Ani}(\mathcal C))\cong\operatorname{Ani}(\operatorname{Cond}(\mathcal C)).$

決して主張が間違っているから削除されたわけではないはずである。

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