$T_1,T_2\in\operatorname{Cond}(\operatorname{Set})$ を取る。定義により、非可算 strong limit cardinal $\kappa_1,\kappa_2$ と

が存在する。$\kappa>\max\{\kappa_1,\kappa_2\}$ となる非可算 strong limit cardinal $\kappa$ を選ぶ。包含を $i_{\kappa_i,\kappa}\colon\operatorname{Extr}_{\kappa_i}\hookrightarrow\operatorname{Extr}_\kappa, i_\kappa\colon\operatorname{Extr}_\kappa\hookrightarrow\operatorname{Extr}$ と書き、

とおく。左 Kan 拡張の合成則から $T_i\simeq\operatorname{Lan}_{i_\kappa^{\operatorname{op}}}T_i'$ である。

$i_\kappa$ は充満忠実である。一般に充満忠実な関手 $j$ に沿う左 Kan 拡張については、 随伴の単位射 $\mathrm{id}\longrightarrow j^*\operatorname{Lan}_j$ が同型である。従って $i_\kappa^*\operatorname{Lan}_{i_\kappa^{\operatorname{op}}}\simeq\mathrm{id}$ であり、随伴を二度用いると

を得る。最後の Hom は局所小圏 $\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Set})$ における Hom なので集合である。 よって $\operatorname{Cond}(\operatorname{Set})$ は locally small である。

□

full condensed set $T$ は、定義により有限直和を有限直積に送る関手 $T\colon\operatorname{Extr}^{\operatorname{op}}\longrightarrow\operatorname{Set}$ である。従って、上で述べた層条件の記述により $T\in\operatorname{Sh}_{\operatorname{Set}}(\operatorname{Extr})$ であり、忘却関手 $\iota\colon\operatorname{Cond}(\operatorname{Set})\longrightarrow\operatorname{Sh}_{\operatorname{Set}}(\operatorname{Extr})$ が定まる。

まず essential image を確認する。 $T\in\operatorname{Cond}(\operatorname{Set})$ とすると、ある非可算 strong limit cardinal $\kappa$ と $T_\kappa\in\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Set})$ が存在して $T\simeq \operatorname{Lan}_{i_\kappa^{\operatorname{op}}}T_\kappa$ と書ける。$i_\kappa$ は充満包含であるから、随伴 $\operatorname{Lan}_{i_\kappa^{\operatorname{op}}} \dashv i_\kappa^*$ の unit は同型である。従って

よって $T\simeq \operatorname{Lan}_{i_\kappa^{\operatorname{op}}} \bigl(i_\kappa^*T\bigr)$、 すなわち $\varepsilon_{T,\kappa}$ は同型である。

逆に、$T\in\operatorname{Sh}_{\operatorname{Set}}(\operatorname{Extr})$ に対して、ある $\kappa$ について $\operatorname{Lan}_{i_\kappa^{\operatorname{op}}} \bigl(i_\kappa^*T\bigr) \xrightarrow{\sim}T$ であると仮定する。制限 $i_\kappa^*T$ は $\operatorname{Extr}_\kappa$ 上の層なので、$i_\kappa^*T\in \operatorname{Sh}_{\operatorname{Set}}(\operatorname{Extr}_\kappa) \simeq\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Set})$ である。 従って $T$ は、ある $\kappa$-condensed set からの左 Kan 拡張であり、 full condensed set である。これで essential image の記述が得られた。

次に fully faithful 性を示す。 $T,U\in\operatorname{Cond}(\operatorname{Set})$ を取る。定義に現れる二つの cardinal より大きい 非可算 strong limit cardinal $\mu$ を選ぶ。左 Kan 拡張の推移性と cardinal を変更する遷移関手の記述により、

と書ける。ただし $T_\mu:=i_\mu^*T, U_\mu:=i_\mu^*U$ であり、 $T_\mu,U_\mu\in\operatorname{Cond}_\mu(\operatorname{Set})$ である。

Kan 拡張と制限の随伴を用いると

第三の同型では、$i_\mu$ が充満包含であることから $U_\mu \xrightarrow{\sim} i_\mu^* \operatorname{Lan}_{i_\mu^{\operatorname{op}}}U_\mu$ となることを用いた。

一方、$\operatorname{Cond}(\operatorname{Set})$ は fully faithful な遷移関手に沿う filtered colimit であるから、二つの対象の間の射は共通の十分大きい段階 $\mu$ で計算できる。 従って $\operatorname{Hom}_{\operatorname{Cond}(\operatorname{Set})}(T,U)\simeq\operatorname{Hom}_{\operatorname{Cond}_\mu(\operatorname{Set})}(T_\mu,U_\mu)$ である。 以上の同型を合わせると $\operatorname{Hom}_{\operatorname{Cond}(\operatorname{Set})}(T,U)\xrightarrow{\sim}\operatorname{Hom}_{\operatorname{Sh}_{\operatorname{Set}}(\operatorname{Extr})}(T,U)$ を得る。従って $\iota$ は fully faithful である。

□

$x\in S\setminus Z$ を取る。$S$ は compact Hausdorff であり、従って normal であるから、$x\in U_x\subset \overline{U_x}\subset S\setminus Z$ を満たす開近傍 $U_x$ を取れる。$S$ は extremally disconnected なので $\overline{U_x}$ は開であり、定義から閉でもあるので clopen である。よって $C_x:=S\setminus\overline{U_x}$ は $Z$ を含み $x$ を含まない clopen subset である。実際、 $\overline{U_x}\cap Z=\emptyset$ であり、$x\in\overline{U_x}$ である。 よって $Z\subset C_x$ がすべての $x\in S\setminus Z$ について成り立つ一方、 $y\in S\setminus Z$ は $C_y$ に属さない。したがって $Z=\bigcap_{x\in S\setminus Z}C_x$ である。 $|S\setminus Z|\leq|S|<\kappa$ なので、この交わりの添字集合の濃度も $<\kappa$ である。

□

$F=\{i_1,\ldots,i_n\}\in\mathcal U$ とする。いずれの $k$ に対しても $\{i_k\}\notin\mathcal U$ であると仮定すると、ultrafilter の性質から $I\setminus\{i_k\}\in\mathcal U$ である。有限交叉を取れば $I\setminus F=\bigcap_{k=1}^n(I\setminus\{i_k\})\in\mathcal U$ となり、$F\cap(I\setminus F)=\emptyset\in\mathcal U$ となるので矛盾する。 よってある $i\in F$ について $\{i\}\in\mathcal U$ である。このとき、$i\in A$ なら $\{i\}\subset A$ と filter の上方閉性から $A\in\mathcal U$ である。逆に $A\in\mathcal U$ かつ $i\notin A$ ならば $A\cap\{i\}=\emptyset\in\mathcal U$ となり 矛盾する。従って $A\in\mathcal U \Longleftrightarrow i\in A$ であり、$\mathcal U$ は $i$ における principal ultrafilter である。

□

$I\setminus A$ が有限なら、補題 3.8 よりprincipal でない ultrafilter は $I\setminus A$ を含まない。ultrafilter は集合とその補集合のちょうど一方を含むので、$\beta I\setminus I$ の任意の点は $A$ を含み、$\widehat A$ に属する。逆に $J:=I\setminus A$ が無限であるとする。$J$ 上の cofinite filter を $I$ 上へ延長して得られる filter

は真の filter であり、$J\in\mathcal F$ を含む。ultrafilter theorem によりこれを含む ultrafilter $\mathcal U$ を取る。有限集合 $E\subset I$ に対しては$J\setminus E\in\mathcal F$ かつ $E\cap(J\setminus E)=\emptyset$ であるから、$E\notin\mathcal U$ である。従って $\mathcal U$ は有限集合を含まず、補題 3.8 より principal ではない。一方で$J=I\setminus A\in\mathcal U$ であるから $A\notin\mathcal U$ である。 よって $\mathcal U\in\beta I\setminus I$ だが $\mathcal U\notin\widehat A$ である。

□

まず、任意の位相空間 $X$ に対して $\underline X$ が full pro-étale site上の層であることを確認する。full pro-étale site の任意の有限被覆に現れる対象と射は、ある非可算 strong limit cardinal $\kappa$ に対してすべて $*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ に含まれる。 その制限は 命題 2.10 により層なので、もとの有限被覆に対する層条件も成り立つ。

次に、$X$ を Sierpinski 空間 $X=\{s,\eta\}, \mathcal O(X)=\{\emptyset,\{\eta\},X\}$ とする。任意の topological space $S$ に対して、連続写像 $f\colon S\longrightarrow X$ を与えることと、$S$ の閉部分集合を与えることは同値である。実際、$f$ が連続ならば $f^{-1}(\{\eta\})\subset S$ は開集合なので、その補集合 $Z_f:=f^{-1}(\{s\})$ は閉集合である。逆に、閉部分集合 $Z\subset S$ に対して

と定める。このとき $f_Z^{-1}(\{\eta\})=S\setminus Z$ は開集合であるから、$f_Z$ は連続である。これら二つの構成は互いに逆であり、 $S$ に関して自然である。従って、$S\in\operatorname{Extr}$ に対して

と同一視できる。この同一視のもとで、射 $p\colon S'\to S$ による制限写像は $Z\longmapsto p^{-1}(Z)$ である。

ここで、背理法により $\underline X|_{\operatorname{Extr}^{\operatorname{op}}}$ が full condensed set であると仮定する。full condensed set の定義から、ある非可算 strong limit cardinal $\kappa$ と $T_\kappa\in\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Set})$ が存在して $\underline X|_{\operatorname{Extr}^{\operatorname{op}}} \simeq \operatorname{Lan}_{i_\kappa^{\operatorname{op}}}T_\kappa$ と書ける。包含 $i_\kappa\colon\operatorname{Extr}_\kappa\hookrightarrow\operatorname{Extr}$ は fully faithful なので、左 Kan 拡張の unit $T_\kappa \longrightarrow i_\kappa^*\operatorname{Lan}_{i_\kappa^{\operatorname{op}}}T_\kappa$ は同型である。従って $T_\kappa\simeq i_\kappa^*\underline X$ であり、上の同型は左 Kan 拡張と制限の随伴の counit

が同型であることを意味する。以下では記号を簡略化するため、 $\underline X|_{\operatorname{Extr}^{\operatorname{op}}}$ を再び $\underline X$ と書く。 $S\in\operatorname{Extr}$ を任意に取る。左 Kan 拡張の点ごとの公式により

ここで、$\operatorname{Extr}^{\operatorname{op}}$ における射 $i_\kappa^{\operatorname{op}}(S_\kappa)\longrightarrow S$ は、圏 $\operatorname{Extr}$ における射 $p\colon S\longrightarrow S_\kappa$（$S_\kappa\in\operatorname{Extr}_\kappa$）に対応する。

$Z\subset S$ を任意の閉部分集合とする。(3) により $Z\in\underline X(S)$ である。(4) が同型であることと (5) から、$Z$ はこの colimit のある段階における元で表される。従って、ある $S_\kappa\in\operatorname{Extr}_\kappa$、$p\colon S\longrightarrow S_\kappa$ および閉部分集合 $Z_\kappa\subset S_\kappa$ が存在して、

と書ける。

補題 3.6 により、ある添字集合 $\Lambda$ と clopen subsets $C_\alpha\subset S_\kappa$ が存在して $|\Lambda|<\kappa, Z_\kappa=\bigcap_{\alpha\in\Lambda}C_\alpha$ と書ける。(6) に代入すると

各 $p^{-1}(C_\alpha)$ は $S$ の clopen subset である。従って、仮定から次の条件が導かれる：

以下では (8) に反する閉部分集合を構成する。 $|I|>\kappa$ を満たす集合 $I$ を取り、前段の ultrafilter 表示と同じ記法で $S:=\beta I$ とおく。上で確認したように $S$ は extremally disconnected compact Hausdorff space、すなわち $S\in\operatorname{Extr}$ である。 上で定めた稠密埋め込み $I\subset\beta I$ を用いて $Z:=\beta I\setminus I$ とおく。各 $i\in I$ に対して $\{\mathcal U_i\}=\widehat{\{i\}}$ は clopen であるから $I=\bigcup_{i\in I}\widehat{\{i\}}$ は $\beta I$ の開部分集合である。従って $Z$ は閉部分集合である。仮に $Z$ が $<\kappa$ 個の clopen subsets の交わりであるとする。すると、 ある添字集合 $\Lambda$ と clopen subsets $D_\lambda\subset\beta I$ が存在して

と書ける。

$\beta I$ の clopen subset はすべて、ある $A_\lambda\subset I$ を用いて $D_\lambda=\widehat{A_\lambda}$ と書ける。(9) から $\beta I\setminus I\subset\widehat{A_\lambda} (\lambda\in\Lambda)$ である。補題 3.9 により、各 $\lambda\in\Lambda$ に対して $I\setminus A_\lambda$ は有限集合である。

従って $E:=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}(I\setminus A_\lambda)$ とおくと $|E| \leq \max\{\aleph_0,|\Lambda|\} <\kappa <|I|$ である。 よって $i\in I\setminus E$ を取れる。この $i$ はすべての $\lambda\in\Lambda$ に対して $i\in A_\lambda$ を満たすので、対応する principal ultrafilter $\mathcal U_i$ は $\mathcal U_i\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\widehat{A_\lambda}=\beta I\setminus I$ を満たす。一方で $\mathcal U_i$ は principal ultrafilter なので $\mathcal U_i\in I$ である。これは矛盾である。

従って $Z=\beta I\setminus I$ は $<\kappa$ 個の clopen subsets の交わりとして表すことができず、(8) に反する。ゆえに $\underline X$ は full condensed set ではない。

以上により、位相空間から full pro-étale site 上の層を作る自然な構成は、各固定した $\kappa$ では $\kappa$-condensed set を与える一方、一般には full condensed sets の圏に値を取らない。

□

まず (i) を示す。任意の位相空間 $X$ に対して $S\longmapsto\operatorname{Hom}_{\operatorname{Top}}(S,X)$ は full pro-étale site 上の層であることは、 注意 3.10 の証明で確認した。従って、$X$ が $T_1$ であるとき、 残る問題は、ある非可算 strong limit cardinal $\kappa$ に対して $\underline X$ が $\operatorname{Extr}_\kappa$ への制限からの左 Kan 拡張になることを示すことである。

非可算 strong limit cardinal $\kappa$ を、その cofinality $\lambda:=\operatorname{cf}(\kappa)$ が

を満たすように選ぶ。包含を $i_\kappa\colon\operatorname{Extr}_\kappa\hookrightarrow\operatorname{Extr}$ と書く。任意の $\widetilde S\in\operatorname{Extr}$ に対し、左 Kan 拡張の点ごとの公式から 自然な写像

がある。

$\operatorname{Extr}^{\operatorname{op}}$ における射 $i_\kappa^{\operatorname{op}}(S)\longrightarrow\widetilde S$ は、圏 $\operatorname{Extr}$ における射 $p\colon\widetilde S\longrightarrow S$（$S\in\operatorname{Extr}_\kappa$）に対応する。(11) の写像は、$g\colon S\to X$ で表される元を $g\circ p\colon\widetilde S\longrightarrow X$ に送る。以下では $\Theta_{\widetilde S}$ が全単射であることを示す。

全射性:
連続写像 $f\colon\widetilde S\longrightarrow X$ を取る。目標は、ある $S\in\operatorname{Extr}_\kappa$ と連続写像 $\widetilde S\xrightarrow{p}S\xrightarrow{g}X$ に $f$ を分解することである。

相異なる点の組全体を $D:=\{(x,y)\in X\times X\mid x\neq y\}$ とおく。各 $(x,y)\in D$ に対して $F_x:=f^{-1}(\{x\})$、$F_y:=f^{-1}(\{y\})$ とおく。$X$ は $T_1$ なので $\{x\}$ と $\{y\}$ は閉集合であり、 $F_x,F_y\subset\widetilde S$ は互いに素な閉部分集合である。$\widetilde S$ は extremally disconnected compact Hausdorff space であり、clopen subsets が位相の basis をなすので、互いに素な二つの閉部分集合を clopen subset で分離できる。従って $F_x\subset U_{x,y}$、$F_y\cap U_{x,y}=\emptyset$ を満たす clopen subset $U_{x,y}\subset\widetilde S$ を取れる。

$U_{x,y}$ の characteristic function を $\chi_{x,y}\colon\widetilde S\longrightarrow\{0,1\}$ とし、これらの積を取って

と定める。(10) から $|D|<\lambda\leq\kappa$ であり、$\kappa$ は strong limit cardinal なので $\left|\{0,1\}^{D}\right| \leq 2^{|D|} <\kappa$ である。この写像は、$f$ が異なる値を取る二点を分離する。実際、 $f(u)=x\neq y=f(v)$ ならば $\chi_{x,y}(u)=1, \chi_{x,y}(v)=0$ である。従って

が成り立つ。

$K:=q_0(\widetilde S)$ とおき、$\{0,1\}^{D}$ の部分空間位相を入れる。 $K$ は $\kappa$-small compact Hausdorff space であり、$q_0\colon\widetilde S\twoheadrightarrow K$ は compact space から Hausdorff space への連続全射なので quotient map である。 (12) により $f$ は $q_0$ の各ファイバー上で一定であるから、一意な集合写像 $g_0\colon K\longrightarrow X$ であって $f=g_0\circ q_0$ を満たすものが存在する。$q_0$ が quotient map であり $f$ が連続であることから、 $g_0$ も連続である。

次に、$\kappa$-small extremally disconnected compact Hausdorff space $S$ と連続全射 $r\colon S\twoheadrightarrow K$ を取る。例えば $S:=\beta(K^\delta)$ と取れる。$\kappa$ が strong limit cardinal なので $|S| \leq 2^{2^{|K|}} <\kappa$ である。 $\widetilde S$ は extremally disconnected なので、$q_0$ は $r$ に沿って持ち上がる。従って $f=g_0\circ q_0=(g_0\circ r)\circ p$ であり、$f$ は $\kappa$-small extremally disconnected set $S$ を経由する。 これで $\Theta_{\widetilde S}$ の全射性が示された。

単射性:
(11) の左辺の二つの元が同じ写像 $f\colon\widetilde S\longrightarrow X$ に送られるとする。これらを

により表す。仮定は

である。

積 $S_1\times S_2$ は $\kappa$-small compact Hausdorff space である。従って、ある $S_0\in\operatorname{Extr}_\kappa$ と連続全射 $r_0\colon S_0\twoheadrightarrow S_1\times S_2$が存在する。$\widetilde S$ は extremally disconnected なので $(p_1,p_2)\colon\widetilde S\to S_1\times S_2$ は $r_0$ に沿って持ち上がる。すなわち、

$h_i\colon S_0\to S_i$ を $r_0$ と第 $i$ 射影との合成とし、$a:=g_1\circ h_1$、$b:=g_2\circ h_2$ とおく。(13) から

である。

各 $(x,y)\in D$ に対して $A_{x,y}:=a^{-1}(\{x\})\cap b^{-1}(\{y\})\subset S_0$ とおく。$X$ は $T_1$ なので $A_{x,y}$ は閉集合である。また (14) と $x\neq y$ から $q(\widetilde S)\cap A_{x,y}=\emptyset$ である。 $q(\widetilde S)$ も compact であり、従って $S_0$ の閉部分集合である。 $S_0$ では clopen subsets が位相の basis をなすので、$q(\widetilde S)\subset V_{x,y}$ かつ $V_{x,y}\cap A_{x,y}=\emptyset$ を満たす clopen subset $V_{x,y}\subset S_0$ を取れる。 $C:=\bigcap_{(x,y)\in D}V_{x,y}$ とおく。$C$ は $S_0$ の閉部分集合なので compact Hausdorff であり、$|C|<\kappa$ である。また $q(\widetilde S)\subset C$ である。さらに $C$ 上では $a=b$ である。実際、ある $z\in C$ に対して $a(z)\neq b(z)$ ならば $z\in A_{a(z),b(z)}$ である一方、$z\in C\subset V_{a(z),b(z)}$ となり、$V_{a(z),b(z)}\cap A_{a(z),b(z)}=\emptyset$ に矛盾する。

$\kappa$-small extremally disconnected compact Hausdorff space $S'$ と全射 $r'\colon S'\twoheadrightarrow C$ を取る。$\widetilde S$ は extremally disconnected なので、 $q\colon\widetilde S\to C$ は $r'$ に沿って持ち上がる。すなわち、

包含 $C\hookrightarrow S_0$ と $r'$ の合成を $u\colon S'\to S_0$ と書くと $a\circ u=b\circ u$ である。 従って $S'$ の段階で二つの代表元は一致する。よって二つの元は (11) の colimit において等しい。これで $\Theta_{\widetilde S}$ の単射性が示された。

以上から、すべての $\widetilde S\in\operatorname{Extr}$ に対して

は全単射である。従って $\underline X \simeq \operatorname{Lan}_{i_\kappa^{\operatorname{op}}} i_\kappa^*\underline X$ であり、$\underline X$ は full condensed set である。

次に、各点からの写像が quasicompact であることを示す。 $x\in X$ とし、任意の profinite set $S$ と射 $\underline S\longrightarrow\underline X$ を取る。この射は連続写像 $f\colon S\to X$ に対応する。condensed sets における pullbackは

である。$X$ は $T_1$ なので $\{x\}$ は閉集合であり、$f^{-1}(\{x\})$ は $S$ の閉部分集合である。 profinite set の閉部分集合は再び profinite set なので $\underline{f^{-1}(\{x\})}$ は quasicompact である。従って $\{x\}\longrightarrow\underline X$ は quasicompact である。これで (i) が示された。

次に (ii) を示す。まず、$T(*)_{\mathrm{top}}$ は定義から compactly generated である。 実際、その位相は compact Hausdorff spaces $S\in\operatorname{Extr}_\kappa$ からの写像 $\theta_{S,t}\colon S\longrightarrow T(*)_{\mathrm{top}}$ に関する終位相である。従って、すべての compact Hausdorff spaces からの連続写像に関する終位相に取り替えても位相は変化しない。残るのは、$T(*)_{\mathrm{top}}$ の各点が閉じていることを示すことである。$x\in T(*)$ を任意に取る。終位相の定義から、$\{x\}\subset T(*)_{\mathrm{top}}$ が閉集合であることを示すには、任意の $S\in\operatorname{Extr}_\kappa$ と $t\in T(S)$ に対して