$p\colon S'\to S$ を $*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ における被覆とする。 さらに $S'=\coprod_i S_i$ と書くと、確認すべき層条件は

が equalizer であることである。 これは

が equalizer であることと同値である。

まず、$h_1,h_2\colon S\to T$ が $h_1\circ p=h_2\circ p$ を満たすなら、$p$ は全射なので $h_1=h_2$ である。 したがって左の写像は単射である。

次に $g\colon S'\to T$ が descent datum を満たすとする。すなわち、二つの射影 $p_1,p_2\colon S'\times_S S'\to S'$ に対して $g\circ p_1=g\circ p_2$ である。 任意の $s\in S$ に対して $p(s')=s$ となる $s'\in S'$ を選び、$f(s):=g(s')$ と定める。もし $s'_1,s'_2$ がともに $s$ の逆像にあるなら、$(s'_1,s'_2)\in S'\times_S S'$ であり、descent datum より $g(s'_1)=g(s'_2)$ である。したがって $f\colon S\to T$ は矛盾なく定まる。 また定義から $f\circ p=g$ である。

ここで $S',S$ は compact Hausdorff space であり、$p\colon S'\to S$ は連続全射である。 compact space から Hausdorff space への連続全射は quotient map であるから、$f\circ p=g$ が連続であることから $f$ は連続である。 よって $g$ は一意な $f\in\operatorname{Hom}(S,T)$ から来る。 これで equalizer 条件が示された。

□

位相空間の場合を示せば十分である。実際、位相群、位相環などの場合は、位相空間に演算写像を加えた図式圏と見れば $\underline{(-)}$ が finite products を保つことから位相空間の場合の証明から直ちに従う。

まず faithful 性を示す。連続写像 $f,g\colon X\to Y$ が $\underline f=\underline g\colon\underline X\to \underline Y$ を誘導するとする。これを一点集合 $*$ で評価すると $f=g\colon\underline X(*)=X\longrightarrow \underline Y(*)=Y$ である。したがって $X\mapsto \underline X$ は faithful である。

次に左随伴を構成する。$T$ を $\kappa$-condensed set とする。 $S\in*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ と $t\in T(S)$ に対し、写像 $\theta_{S,t}\colon S\longrightarrow T(*)$ を次で定める。点 $s\in S$ を連続写像 $s\colon *\to S$ と見なし、$\theta_{S,t}(s):=T(s)(t)\in T(*)$ とおく。ここで $T(s)\colon T(S)\longrightarrow T(*)$ は、反変関手 $T$ を射 $s:*\to S$ に適用して得られる写像である。

集合 $T(*)$ に、すべての $S\in*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ と $t\in T(S)$ から定まる写像 $\theta_{S,t}\colon S\longrightarrow T(*)$ に関する終位相を入れた位相空間を $T(*)_{\mathrm{top}}$ と書く。

任意の位相空間 $X$ に対して、自然な全単射

を構成する。

まず $\varphi\colon T\to \underline X$ が与えられたとする。 $\varphi$ を $*$ で評価して得られる写像を $h_\varphi:=\varphi(*)\colon T(*)\longrightarrow \underline X(*)=X$ と書く。任意の $S\in*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ と $t\in T(S)$ に対し、自然性により 次の図式は可換である。

\begin{tikzcd}
        S \arrow[r,"\theta_{S,t}"] \arrow[dr,"\varphi(S)(t)"']
            & T(*) \arrow[d,"h_\varphi"] \\
            & X
    \end{tikzcd}

ここで $\varphi(S)(t)\in \underline X(S)=\operatorname{Hom}(S,X)$ である。したがって対角の写像 $S\to X$ は連続である。つまり、すべての $\theta_{S,t}\colon S\to T(*)$ に沿った合成 $S\xrightarrow{\theta_{S,t}}T(*)\xrightarrow{h_\varphi}X$ は連続である。$T(*)_{\mathrm{top}}$ はこれらの写像に関する終位相で定義されているので、$h_\varphi$ は連続写像 $h_\varphi\colon T(*)_{\mathrm{top}}\longrightarrow X$ を定める。

逆に、連続写像 $h\colon T(*)_{\mathrm{top}}\longrightarrow X$ が与えられたとする。このとき各 $S\in*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ に対して写像 $\Phi_h(S)\colon T(S)\longrightarrow \underline X(S)=\operatorname{Hom}(S,X)$ を $\Phi_h(S)(t):=h\circ\theta_{S,t}$ により定める。$h$ と $\theta_{S,t}$ は連続なので、$h\circ\theta_{S,t}\colon S\longrightarrow X$ は連続である。

この対応が $S$ に関して自然であることを確認する。射 $u\colon S'\longrightarrow S$ を $*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ の射とする。$t\in T(S)$ に対して、$T(u)(t)\in T(S')$ である。このとき、点 $s'\colon *\to S'$ において

である。したがって $\theta_{S',T(u)(t)}=\theta_{S,t}\circ u$ が成り立つ。これは次の可換図式で表される。

\begin{tikzcd}
        S' \arrow[r,"u"] \arrow[d,"\theta_{S',T(u)(t)}"']
            & S \arrow[d,"\theta_{S,t}"] \\
        T(*) \arrow[r,equal]
            & T(*)
    \end{tikzcd}

よって

したがって $\Phi_h$ は自然変換 $\Phi_h\colon T\longrightarrow \underline X$ を定める。

以上の二つの構成 $\varphi\longmapsto h_\varphi, h\longmapsto \Phi_h$ は互いに逆である。したがって自然な全単射

が得られる。ゆえに $T\longmapsto T(*)_{\mathrm{top}}$ は $X\longmapsto \underline X$ の左随伴である。

次に counit を定める。$T=\underline X$ とおくと $\underline X(*)=X$ であり、$t\in\underline X(S)$ は連続写像 $t\colon S\longrightarrow X$ そのものである。このとき点 $s\colon *\to S$ に対して $\theta_{S,t}(s)=\underline X(s)(t)=t\circ s$ であるから、$\theta_{S,t}\colon S\longrightarrow \underline X(*)=X$ は、もとの連続写像 $t\colon S\to X$ と一致する。したがって $\underline X(*)_{\mathrm{top}}$ は、集合 $X$ に対し、すべての $\kappa$-small profinite set からの連続写像 $S\longrightarrow X$ に関する終位相を入れた空間である。

一方、$X^{\kappa\text{-}\mathrm{cg}}$ は、すべての $\kappa$-small compact Hausdorff space からの連続写像に関する終位相によって定義される。前述の Stone--Čech 被覆により、そのような空間 $K$ は $\kappa$-small profinite set $P$ からの全射 $P\twoheadrightarrow K$ を持つ。この全射は quotient map なので、$K\to X$ の連続性は合成 $P\to X$ の連続性で判定できる。よって compact Hausdorff spaces を用いる終位相と、profinite sets のみを用いる終位相は一致する。

したがって $\underline X(*)_{\mathrm{top}} \simeq X^{\kappa\text{-}\mathrm{cg}}$ であり、この同一視のもとで随伴の counit $\underline X(*)_{\mathrm{top}}\longrightarrow X$ は自然な写像 $X^{\kappa\text{-}\mathrm{cg}}\longrightarrow X$ と一致する。

最後に fully faithful 性を示す。$X$ が $\kappa$-compactly generated ならば $X^{\kappa\text{-}\mathrm{cg}}\xrightarrow{\sim}X$ である。したがって任意の位相空間 $Y$ に対し、

これは $X\mapsto\underline X$ によって誘導される写像の逆である。ゆえに、$\kappa$-compactly generated spaces に制限すると $X\mapsto\underline X$ は fully faithful である。

□

$S\in\mathcal C$ に対し、$\mathcal B$ 上の前層 $h_S^{\mathcal B}:=\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,S)|_{\mathcal B}$ を考える。$F\in\operatorname{Sh}_{\operatorname{Set}}(\mathcal B)$ に対して

とおく。これは、$\mathcal B$ の対象からの各射 $B\to S$ に $F(B)$ の元を対応させ、$\mathcal B$ 内の射による引き戻しと両立させたデータの集合である。まず $(i_*F)$ が $\mathcal C$ 上の層であることを示す。$\{S_a\to S\}_a$ を$\mathcal C$ の被覆とし、$(i_*F)(S_a)$ の matching family を取る。$P\to S$ を$P\in\mathcal B$ とする。$\{P\times_S S_a\to P\}_a$ は $\mathcal C$ の被覆である。仮定 (3) によりこれは $\mathcal B$ の対象からなる被覆で refine できる。その各項で matching family を評価すると $F$ の matching family が得られる。二つの項の交わりでの 一致は、仮定 (2) により $\mathcal B$ の被覆へ refine して検査できるので、$F$ の層条件から一意に $F(P)$ の元へ貼り合わさる。この元は $P\to S$ に自然であるから、(2) の元を定める。同じ議論は局所的に等しい二つの元が等しいことも示す。よって $i_*F$ は層である。

$B\in\mathcal B$ に対しては、$\mathcal B$ が充満であることと Yoneda の補題から

である。従って $i^*i_*\simeq\mathrm{id}$ である。

逆に $G\in\operatorname{Sh}_{\operatorname{Set}}(\mathcal C)$ とする。自然な射 $G(S)\longrightarrow (i_*i^*G)(S)$ は、$x\in G(S)$ を各 $B\to S$ への引き戻し $x|_B$ に送る。これは全単射である。 実際、仮定 (1) により $\mathcal B$ の対象からなる $S$ の被覆を取れる。右辺の元をこの 被覆上で評価すると、仮定 (2) により共通部分を $\mathcal B$ の被覆で検査できる matching family になる。$G$ の層条件により、それらは一意な $x\in G(S)$ に貼り合わさる。この $x$ は与えられた自然変換を復元する。したがって $G\simeq i_*i^*G$ である。

以上より $i^*$ と $i_*$ は互いに擬逆であり、主張の圏同値を得る。

□

包含を $i\colon*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}\hookrightarrow\operatorname{CHaus}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}}$ と書き、命題 1.17 を適用する。

まず、任意の $K\in\operatorname{CHaus}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}}$ は、Stone--Čech 被覆 $\beta(K^\delta)\twoheadrightarrow K$ を持つ。その始域は $\kappa$-small profinite set なので、命題 1.17 の仮定 (1) が成り立つ。

次に、$P,Q\in*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ と射 $P\to K\leftarrow Q$ を取り、$Q\to K$ は全射とする。 pullback $P\times_KQ$ は $\kappa$-small compact Hausdorff space であるから、再び Stone--Čech 被覆を適用すると、$\kappa$-small profinite set からの全射 $\beta((P\times_KQ)^\delta)\twoheadrightarrow P\times_KQ$ を得る。 従って引き戻した被覆は $*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ の対象からの被覆で refine でき、命題 1.17の仮定 (2) が成り立つ。

最後に、$P\in*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ の有限被覆 $\{K_j\to P\}_{j=1}^n$ を$\operatorname{CHaus}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}}$ で取る。各 $K_j$ を $\kappa$-small profinite set $S_j$ で被覆すれば、合成の族 $\{S_j\to K_j\to P\}_{j=1}^n$ は$*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ における被覆である。これで命題 1.17の仮定 (3) も成り立つ。

よって $*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ は $\operatorname{CHaus}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}}$ の basis をなし、命題 1.17 により制限関手 $i^*\colon\operatorname{Sh}_{\operatorname{Set}}(\operatorname{CHaus}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}}) \longrightarrow\operatorname{Sh}_{\operatorname{Set}}(*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}})$ は圏同値である。

□

$\mathcal{B}:=\operatorname{Extr}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}}$、$\mathcal C:=*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ とし、命題 1.17 を適用する。 任意の $\kappa$-small compact Hausdorff space $K$ に対して $\beta(K^\delta)$ は $\kappa$-small extremally disconnected compact Hausdorff space であり、自然な全射 $\beta(K^\delta)\twoheadrightarrow K$ を持つ。 特に任意の $S\in\mathcal C$ は $\mathcal B$ の対象から被覆されるので、仮定 (1) が成り立つ。 また、$P\in\mathcal B$ と被覆 $Q\to S$（$Q\in\mathcal B$）に対して、$P\times_SQ$ は $\kappa$-small compact Hausdorff space である。従って$\beta((P\times_SQ)^\delta)\twoheadrightarrow P\times_SQ$ を取れば、仮定 (2) を得る。 最後に、$\mathcal C$ の有限被覆 $\{S_j\to S\}_{j=1}^n$ に対して各 $S_j$ を $\mathcal B$ の対象で被覆し、その合成を取れば、もとの被覆を $\mathcal B$ の被覆で refine できる。従って仮定 (3) も成り立つ。

よって $\mathcal B$ は $\mathcal C$ の basis をなし、制限関手 $\operatorname{Sh}_{\operatorname{Set}}(*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}})\to\operatorname{Sh}_{\operatorname{Set}}(\operatorname{Extr}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}})$ は圏同値である。左辺は $\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Set})$ なので主張を得る。

□

包含関手を $i\colon\operatorname{Extr}_\kappa\hookrightarrow \operatorname{Extr}_{\kappa'}$ と書く。

Sch26b（Proposition 2.14） により、$\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Set})$ は $T\colon\operatorname{Extr}_\kappa^{\operatorname{op}}\longrightarrow \operatorname{Set}$ であって、有限直和を有限直積に送る関手の圏と同一視される。同様に、$\operatorname{Cond}_{\kappa'}(\operatorname{Set})$ は $T'\colon\operatorname{Extr}_{\kappa'}^{\operatorname{op}}\longrightarrow \operatorname{Set}$ であって、有限直和を有限直積に送る関手の圏と同一視される。このとき制限関手は

であり、Kan 拡張との標準的な随伴 $\operatorname{Lan}_{i^{\operatorname{op}}} \dashv i^* \dashv \operatorname{Ran}_{i^{\operatorname{op}}}$ がある。

この同一視のもとで、命題の関手 $\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Set})\longrightarrow \operatorname{Cond}_{\kappa'}(\operatorname{Set})$ は $T\longmapsto T_{\kappa'}:=\operatorname{Lan}_{i^{\operatorname{op}}}T$ で与えられる。すなわち、$\widetilde S\in\operatorname{Extr}_{\kappa'}$ に対して

である。

この comma 圏の対象を元の圏 $\operatorname{Extr}_{\kappa'}$ で書き直すと、それは $\kappa$-small extremally disconnected set $S$ と射 $\widetilde S\longrightarrow S$ の組である。したがって

である。ここで colimit は、$\kappa$-small extremally disconnected set $S$ と射 $\widetilde S\to S$ 全体にわたって取る。

まず fully faithful 性を示す。 $\operatorname{Lan}_{i^{\operatorname{op}}}\dashv i^*$ の unit $T\longrightarrow i^*\operatorname{Lan}_{i^{\operatorname{op}}}T$ が同型であることを確認すればよい。

$S_0\in\operatorname{Extr}_\kappa$ とする。このとき

ただし $S$ は $\kappa$-small extremally disconnected set を動く。 この添字圏において $S_0\xrightarrow{\mathrm{id}}S_0$ は終対象である。実際、任意の対象 $S_0\to S$ に対して、それ自身を用いて一意な射 $(S_0\to S)\longrightarrow (S_0\xrightarrow{\mathrm{id}}S_0)$ が得られる。したがって $\operatorname*{colim}_{(S_0\to S)}T(S) \simeq T(S_0)$ である。 よって $T\xrightarrow{\sim}i^*\operatorname{Lan}_{i^{\operatorname{op}}}T$ であり、unit は同型である。したがって $\operatorname{Lan}_{i^{\operatorname{op}}}: \operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Set})\longrightarrow \operatorname{Cond}_{\kappa'}(\operatorname{Set})$ は fully faithful である。

また $\operatorname{Lan}_{i^{\operatorname{op}}}$ は左随伴であるから、すべての colimit と可換である。

残りは、$\lambda=\operatorname{cf}(\kappa)$ に対する $\lambda$-small limit と可換であることを示すことである。 $\widetilde S\in\operatorname{Extr}_{\kappa'}$ を固定し、$\mathcal I_{\widetilde S}:=(i^{\operatorname{op}}\downarrow \widetilde S)$ とおく。すなわち、$\mathcal I_{\widetilde S}$ の対象は $\widetilde S\longrightarrow S$、$S\in\operatorname{Extr}_\kappa$ であり、

と書ける。

よって、$\operatorname{Lan}_{i^{\operatorname{op}}}$ が $\lambda$-small limit と可換であることを示すには、各 $\widetilde S$ について $\mathcal I_{\widetilde S}$ が $\lambda$-filtered であることを示せばよい。 実際、$\lambda=\operatorname{cf}(\kappa)$ は regular cardinal であり、 $\operatorname{Set}$ において $\lambda$-filtered colimit は $\lambda$-small limit と可換する。

そこで、$\lambda$-small な図式 $j\longmapsto \bigl(\widetilde S\to S_j\bigr)$ を $\mathcal I_{\widetilde S}$ に取る。ここで各 $S_j$ は $\kappa$-small extremally disconnected set である。この図式の $\operatorname{Extr}_{\kappa'}$ における極限を $L:=\varprojlim_j S_j$ とおく。

まず $L$ は $\kappa$-small compact Hausdorff space である。実際、添字圏は $\lambda$-small であり、$\lambda=\operatorname{cf}(\kappa)$ なので、$\mu:=\sup_j |S_j|<\kappa$ である。したがって

最後の不等号は、$\mu\cdot\lambda<\kappa$ と、$\kappa$ が strong limit cardinal であることによる。

$L$ は一般には extremally disconnected とは限らないので、$\kappa$-small extremally disconnected set $S$ と全射 $S\twoheadrightarrow L$ を取る。例えば $S:=\beta(L^\delta)$ とすればよい。$\kappa$ が strong limit cardinal であることから、この $S$ は $\kappa$-small に取れる。

図式の各対象には射 $\widetilde S\to S_j$ が与えられているので、普遍性により射 $\widetilde S\longrightarrow L=\varprojlim_j S_j$ が得られる。さらに $\widetilde S$ は extremally disconnected であり、$S\twoheadrightarrow L$ は全射なので、この射は持ち上がる。すなわち、次の図式を可換にする射 $\widetilde S\to S$ が存在する。

\begin{tikzcd}
        & S \arrow[d,two heads] \\
        \widetilde S \arrow[ur,dashed] \arrow[r]
            & L
    \end{tikzcd}

各 $j$ について合成 $S\longrightarrow L\longrightarrow S_j$ を考えると、次の図式は可換である。

\begin{tikzcd}
        & S \arrow[d] \\
        \widetilde S \arrow[ur,dashed] \arrow[r]
            & S_j
    \end{tikzcd}

したがって、対象 $\widetilde S\longrightarrow S$ は、もとの $\lambda$-small 図式の cocone を与え、$\mathcal I_{\widetilde S}$ は $\lambda$-filtered である。

また、任意の $\lambda$-small diagram $(T_a)_{a\in A}$ に対して、 各 $\widetilde S\in\operatorname{Extr}_{\kappa'}$ で