$p:S'\to S$ を $*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ における被覆とする。 さらに $S'=\coprod_i S_i$ と書くと、確認すべき層条件は

$$\operatorname{Hom}(S,T) \to \prod_i\operatorname{Hom}(S_i,T) \rightrightarrows \prod_{i,j}\operatorname{Hom}(S_i\times_S S_j,T)$$

が equalizer であることである。 これは

$$\operatorname{Hom}(S,T) \to \operatorname{Hom}(S',T) \rightrightarrows \operatorname{Hom}(S'\times_S S',T)$$

が equalizer であることと同値である。

まず、$h_1,h_2:S\to T$ が $h_1\circ p=h_2\circ p$ を満たすなら、$p$ は全射なので $h_1=h_2$ である。 したがって左の写像は単射である。

次に $g:S'\to T$ が descent datum を満たすとする。すなわち

$$g\circ p_1=g\circ p_2 \qquad (p_1,p_2:S'\times_S S'\to S')$$

である。 任意の $s\in S$ に対して $p(s')=s$ となる $s'\in S'$ を選び、

$$f(s):=g(s')$$

と定める。もし $s'_1,s'_2$ がともに $s$ の逆像にあるなら、$(s'_1,s'_2)\in S'\times_S S'$ であり、descent datum より

$$g(s'_1)=g(s'_2)$$

である。したがって $f:S\to T$ は well-defined である。 また定義から $f\circ p=g$ である。

ここで $S',S$ は compact Hausdorff space であり、$p:S'\to S$ は連続全射である。 compact space から Hausdorff space への連続全射は quotient map であるから、$f\circ p=g$ が連続であることから $f$ は連続である。 よって $g$ は一意な $f\in\operatorname{Hom}(S,T)$ から来る。 これで equalizer 条件が示された。

位相空間の場合を示せば十分である。実際、位相群、位相環などの場合は、位相空間に演算写像を加えた diagram category と見れば $\underline{(-)}$ が finite products を保つことから位相空間の場合の証明から直ちに従う。

まず faithful 性を示す。連続写像 $f,g:X\to Y$ が

$$\underline f=\underline g:\underline X\to \underline Y$$

を誘導するとする。これを一点集合 $*$ で評価すると

$$f=g:\underline X(*)=X\to \underline Y(*)=Y$$

である。したがって $X\mapsto \underline X$ は faithful である。

次に左随伴を構成する。$T$ を $\kappa$-condensed set とする。 $S\in*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ と $t\in T(S)$ に対し、写像 $\theta_{S,t}:S\to T(*)$を次で定める。点 $s\in S$ を連続写像 $s:*\to S$ と見なし、

$$\theta_{S,t}(s):=T(s)(t)\in T(*)$$

とおく。ここで $T(s):T(S)\to T(*)$ は、反変関手 $T$ を射 $s:*\to S$ に適用して得られる写像である。

集合 $T(*)$ に、すべての写像

$$\theta_{S,t}:S\to T(*), \qquad S\in*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}},\ t\in T(S),$$

に関する終位相を入れた位相空間を $T(*)_{\mathrm{top}}$ と書く。

任意の位相空間 $X$ に対して、自然な全単射

$$\operatorname{Hom}_{\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Set})}(T,\underline X) \cong \operatorname{Hom}_{\operatorname{Top}}(T(*)_{\mathrm{top}},X)$$

を構成する。

まず $\varphi:T\to \underline X$ が与えられたとする。 $\varphi$ を $*$ で評価して得られる写像を

$$h_\varphi:=\varphi(*):T(*)\to \underline X(*)=X$$

と書く。任意の $S\in*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ と $t\in T(S)$ に対し、自然性により 次の図式は可換である。

$$\begin{array}{ccc} S & \xrightarrow{\theta_{S,t}} & T(*) \\ \scriptstyle{\varphi(S)(t)} \searrow & & \downarrow \scriptstyle{h_\varphi} \\ & & X \end{array}$$

ここで

$$\varphi(S)(t)\in \underline X(S)=\operatorname{Hom}(S,X)$$

である。したがって対角の写像 $S\to X$ は連続である。 つまり、すべての $\theta_{S,t}:S\to T(*)$ に沿った合成 $S\xrightarrow{\theta_{S,t}}T(*)\xrightarrow{h_\varphi}X$ は連続である。$T(*)_{\mathrm{top}}$ はこれらの写像に関する終位相で定義されているので、$h_\varphi$ は連続写像$h_\varphi:T(*)_{\mathrm{top}}\to X$ を定める。

逆に、連続写像 $h:T(*)_{\mathrm{top}}\to X$ が与えられたとする。このとき各 $S\in*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ に対して写像

$$\Phi_h(S):T(S)\to \underline X(S)=\operatorname{Hom}(S,X)$$

を

$$\Phi_h(S)(t):= h\circ\theta_{S,t}$$

により定める。$h$ と $\theta_{S,t}$ は連続なので、 $h\circ\theta_{S,t}:S\to X$ は連続である。

この対応が $S$ に関して自然であることを確認する。 射 $u:S'\to S$ を $*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ の射とする。$t\in T(S)$ に対して、$T(u)(t)\in T(S')$ である。このとき、点 $s':*\to S'$ において

$$\theta_{S',T(u)(t)}(s') = T(s')\bigl(T(u)(t)\bigr) = T(u\circ s')(t) = \theta_{S,t}(u(s'))$$

である。したがって $\theta_{S',T(u)(t)}=\theta_{S,t}\circ u$ が成り立つ。これは次の可換図式で表される。

よって

$$\begin{aligned} \Phi_h(S')\bigl(T(u)(t)\bigr) &= h\circ \theta_{S',T(u)(t)} \\ &= h\circ \theta_{S,t}\circ u \\ &= \underline X(u)\bigl(\Phi_h(S)(t)\bigr). \end{aligned}$$

したがって $\Phi_h$ は自然変換 $\Phi_h:T\to \underline X$ を定める。

以上の二つの構成

$$\varphi\longmapsto h_\varphi, \qquad h\longmapsto \Phi_h$$

は互いに逆である。したがって自然な全単射

$$\operatorname{Hom}_{\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Set})}(T,\underline X) \cong \operatorname{Hom}_{\operatorname{Top}}(T(*)_{\mathrm{top}},X)$$

が得られる。ゆえに $T\longmapsto T(*)_{\mathrm{top}}$は $X\longmapsto \underline X$ の左随伴である。

次に counit を定める。$T=\underline X$ とおくと $\underline X(*)=X$ であり、$t\in\underline X(S)$ は連続写像 $t:S\to X$ そのものである。このとき点 $s:*\to S$ に対して

$$\theta_{S,t}(s) = \underline X(s)(t) = t\circ s$$

であるから、

$$\theta_{S,t}:S\to \underline X(*)=X$$

は、もとの連続写像 $t:S\to X$ と一致する。

したがって $\underline X(*)_{\mathrm{top}}$ は、集合 $X$ に対し、 すべての $\kappa$-small profinite set からの連続写像 $S\to X$に関する終位相を入れた空間である。

一方、$X^{\kappa\text{-}\mathrm{cg}}$ は、すべての $\kappa$-small compact Hausdorff spaceからの連続写像に関する終位相によって定義される。しかし任意の $\kappa$-small compact Hausdorff space $K$ は、$\kappa$-small profinite set からの全射で被覆される。実際、 $\beta(K^\delta)\twoheadrightarrow K$ があり、$\kappa$ が strong limit cardinal であることから $\beta(K^\delta)$ は再び $\kappa$-small である。任意の連続写像 $K\to X$ について、次の図式を考える。

compact Hausdorff spaces の間の全射は quotient map であるから、$K\to X$ の連続性は $\beta(K^\delta)\to X$ の連続性で判定できる。よって compact Hausdorff spaces を用いる終位相と、profinite sets のみを用いる終位相は一致する。

したがって

$$\underline X(*)_{\mathrm{top}} \cong X^{\kappa\text{-}\mathrm{cg}}$$

であり、この同一視のもとで随伴の counit $\underline X(*)_{\mathrm{top}}\to X$ は自然な写像

$$X^{\kappa\text{-}\mathrm{cg}}\to X$$

と一致する。

最後に fully faithful 性を示す。$X$ が $\kappa$-compactly generated ならば$X^{\kappa\text{-}\mathrm{cg}}\xrightarrow{\sim}X$ である。したがって任意の位相空間 $Y$ に対し、

$$\begin{aligned} \operatorname{Hom}_{\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Set})}(\underline X,\underline Y) &\cong \operatorname{Hom}_{\operatorname{Top}}(\underline X(*)_{\mathrm{top}},Y) \\ &\cong \operatorname{Hom}_{\operatorname{Top}}(X^{\kappa\text{-}\mathrm{cg}},Y) \\ &\cong \operatorname{Hom}_{\operatorname{Top}}(X,Y). \end{aligned}$$

これは $X\mapsto\underline X$ によって誘導される写像の逆である。 ゆえに、$\kappa$-compactly generated spaces に制限すると $X\mapsto\underline X$ は fully faithful である。

示したいのは、包含 $i \colon *_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}\hookrightarrow\operatorname{CHaus}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}}$ により誘導される関手

$$i^* \colon \operatorname{Sh}_{\operatorname{Set}}(\operatorname{CHaus}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}}) \to \operatorname{Sh}_{\operatorname{Set}}(*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}})$$

が圏同値であることである。

まず、$*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ が $\operatorname{CHaus}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}}$ の basis になっていることを確認する。 任意の $S\in \operatorname{CHaus}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}}$ に対して、$S$ に離散位相を入れた空間を $S^\delta$ と書く。 恒等写像 $S^\delta \to S$ は連続であるから、$S$ が compact Hausdorff であることにより、Stone--Čech compactification の普遍性から連続写像 $p:\beta(S^\delta)\to S$ が得られる。この写像は $S^\delta\to S$ を延長しているので全射である。また $\beta(S^\delta)$ は profinite set である。さらに $|S|<\kappa$ であり、$\kappa$ は strong limit cardinal なので

$$|\beta(S^\delta)|\leq 2^{2^{|S|}}<\kappa$$

である。したがって $\beta(S^\delta)$ は $\kappa$-small profinite set である。 よって任意の $S\in\operatorname{CHaus}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}}$ は、$*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ の対象からの被覆 $\beta(S^\delta)\twoheadrightarrow S$ を持つ。

次に、被覆の base change も $*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ の対象で refine できることを確認する。 $P\in*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ とし、$\operatorname{CHaus}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}}$ における射 $P\to S$ を考える。 また $Q\to S$ を $*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ の対象からの被覆とする。このとき $P\times_S Q$ は compact Hausdorff であり、かつ $\kappa$-small である。 したがって、上と同じ議論により profinite set $R:=\beta\bigl((P\times_S Q)^\delta\bigr)$ と全射 $R\twoheadrightarrow P\times_S Q$ が存在する。これを図式で書くと

となる。したがって、$P$ 上に引き戻した被覆 $P\times_S Q\to P$ は、$*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ の対象 $R$ からの被覆 $R\to P$ によって refine される。

さらに、$\operatorname{CHaus}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}}$ における被覆を $*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ に制限すると、$*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ 上の被覆と同じものを与える。 実際、$P\in*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ の $\operatorname{CHaus}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}}$ における有限被覆 ${S_j\to P}_{j=1}^n$ が与えられたとする。各 $S_j$ に対して $\widetilde S_j:=\beta(S_j^\delta)\twoheadrightarrow S_j$ を取ると、合成 $\widetilde S_j\to S_j\to P$ は $*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ の射であり、${\widetilde S_j\to P}_{j=1}^n$ は $*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ における有限 jointly surjective cover である。可換図式で書けば

である。したがって、$\operatorname{CHaus}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}}$ の被覆は $*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ の被覆で refine できる。

以上により、$*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ は $\operatorname{CHaus}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}}$ の basis である。 上で確認した三つの性質は、[命題 2.14](#prop-comparison-lemma) の仮定を満たす。 したがって[命題 2.14](#prop-comparison-lemma) から直ちに

$$i^* \colon \operatorname{Sh}_{\operatorname{Set}}(\operatorname{CHaus}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}}) \to \operatorname{Sh}_{\operatorname{Set}}(*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}})$$

は圏同値である。

包含関手

$$i \colon \operatorname{Extr}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}} \hookrightarrow *_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$$

による制限関手

$$i^* \colon \operatorname{Sh}_{\operatorname{Set}}(*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}) \to \operatorname{Sh}_{\operatorname{Set}}(\operatorname{Extr}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}})$$

が圏同値であることを示せばよい。

まず、$\operatorname{Extr}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}}$ が $*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ の basis になっていることを確認する。 任意の $S\in*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ に対し、$S$ に離散位相を入れた空間を $S^\delta$ と書く。 Stone--Čech compactification により連続全射 $\beta(S^\delta)\twoheadrightarrow S$ が得られる。ここで $\beta(S^\delta)$ は extremally disconnected compact Hausdorff space である。また $|S|<\kappa$ であり、$\kappa$ は strong limit cardinal なので

$$|\beta(S^\delta)|\leq 2^{2^{|S|}}<\kappa$$

である。したがって$\beta(S^\delta)\in\operatorname{Extr}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}}$ であり、任意の $\kappa$-small profinite set は、 $\operatorname{Extr}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}}$ の対象からの被覆を持つ。さらに、$S\in*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}$ の被覆

$$\widetilde S\twoheadrightarrow S, \qquad \widetilde S\in\operatorname{Extr}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}},$$

に対して、pull back $\widetilde S\times_S\widetilde S$ は再び $\kappa$-small compact Hausdorff space である。したがって同様に

$$\beta\bigl((\widetilde S\times_S\widetilde S)^\delta\bigr) \twoheadrightarrow \widetilde S\times_S\widetilde S$$

という $\operatorname{Extr}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}}$ の対象からの被覆を取れる。 つまり、層条件で現れる重なりも $\operatorname{Extr}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}}$ の対象によって refine できる。

この状況は[命題 2.15](#prop-compact-hausdorff-proetale-comparison) の証明と同じ comparison lemma の状況である。 したがって、その証明と同様に、制限関手

$$i^*: \operatorname{Sh}_{\operatorname{Set}}(*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}) \to \operatorname{Sh}_{\operatorname{Set}}(\operatorname{Extr}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}})$$

は fully faithful かつ essentially surjective である。よって、

$$\operatorname{Sh}_{\operatorname{Set}}(\operatorname{Extr}_{\kappa\text{-}\mathrm{small}}) \simeq \operatorname{Sh}_{\operatorname{Set}}(*_{\kappa\text{-}\mathrm{pro\acute{e}t}}) = \operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Set})$$

が得られる。

包含関手を

$$i:\operatorname{Extr}_\kappa\hookrightarrow \operatorname{Extr}_{\kappa'}$$

と書く。

Scholze の [Sch26b, Proposition 2.14](#ref-ScholzeLecturesCondensed) により、$\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Set})$ は $T:\operatorname{Extr}_\kappa^{\operatorname{op}}\to \operatorname{Set}$ であって、有限直和を有限直積に送る関手の圏と同一視される。同様に、$\operatorname{Cond}_{\kappa'}(\operatorname{Set})$ は$T':\operatorname{Extr}_{\kappa'}^{\operatorname{op}}\to \operatorname{Set}$ であって、有限直和を有限直積に送る関手の圏と同一視される。このとき制限関手は

$$i^*: \operatorname{Fun}(\operatorname{Extr}_{\kappa'}^{\operatorname{op}},\operatorname{Set}) \to \operatorname{Fun}(\operatorname{Extr}_\kappa^{\operatorname{op}},\operatorname{Set}), \qquad F\longmapsto F\circ i^{\operatorname{op}}$$

であり、Kan 拡張との標準的な随伴

$$\operatorname{Lan}_{i^{\operatorname{op}}} \dashv i^* \dashv \operatorname{Ran}_{i^{\operatorname{op}}}$$

がある。

この同一視のもとで、命題の関手

$$\operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Set})\to \operatorname{Cond}_{\kappa'}(\operatorname{Set})$$

は $T\longmapsto T_{\kappa'}:=\operatorname{Lan}_{i^{\operatorname{op}}}T$ で与えられる。すなわち、$\widetilde S\in\operatorname{Extr}_{\kappa'}$ に対して

$$T_{\kappa'}(\widetilde S) = \bigl(\operatorname{Lan}_{i^{\operatorname{op}}}T\bigr)(\widetilde S) = \operatorname*{colim}_{(i^{\operatorname{op}}\downarrow \widetilde S)}T$$

である。

この comma 圏の対象を元の圏 $\operatorname{Extr}_{\kappa'}$ で書き直すと、それは $\kappa$-small extremally disconnected set $S$ と射 $\widetilde S\to S$ の組である。したがって

$$\bigl(\operatorname{Lan}_{i^{\operatorname{op}}}T\bigr)(\widetilde S) = \operatorname*{colim}_{(\widetilde S\to S)} T(S)$$

である。ここで colimit は、$\kappa$-small extremally disconnected set $S$ と射 $\widetilde S\to S$ 全体にわたって取る。

まず fully faithful 性を示す。 $\operatorname{Lan}_{i^{\operatorname{op}}}\dashv i^*$ の unit

$$T\to i^*\operatorname{Lan}_{i^{\operatorname{op}}}T$$

が同型であることを確認すればよい。

$S_0\in\operatorname{Extr}_\kappa$ とする。このとき

$$\bigl(i^*\operatorname{Lan}_{i^{\operatorname{op}}}T\bigr)(S_0) = \bigl(\operatorname{Lan}_{i^{\operatorname{op}}}T\bigr)(S_0) = \operatorname*{colim}_{(S_0\to S)}T(S).$$

ただし $S$ は $\kappa$-small extremally disconnected set を動く。 この添字圏において $S_0\xrightarrow{\operatorname{id}}S_0$ は終対象である。実際、任意の対象 $S_0\to S$ に対して、それ自身を用いて一意な射

$$(S_0\to S)\to (S_0\xrightarrow{\operatorname{id}}S_0)$$

が得られる。したがって

$$\operatorname*{colim}_{(S_0\to S)}T(S) \cong T(S_0).$$

よって $T\xrightarrow{\sim}i^*\operatorname{Lan}_{i^{\operatorname{op}}}T$ であり、unit は同型である。したがって $\operatorname{Lan}_{i^{\operatorname{op}}}: \operatorname{Cond}_\kappa(\operatorname{Set})\to \operatorname{Cond}_{\kappa'}(\operatorname{Set})$ は fully faithful である。

また $\operatorname{Lan}_{i^{\operatorname{op}}}$ は左随伴であるから、すべての colimit と可換である。

残りは、$\lambda=\operatorname{cf}(\kappa)$ に対する $\lambda$-small limit と可換であることを示すことである。 $\widetilde S\in\operatorname{Extr}_{\kappa'}$ を固定し、$\mathcal I_{\widetilde S}:= (i^{\operatorname{op}}\downarrow \widetilde S)$ とおく。すなわち、$\mathcal I_{\widetilde S}$ の対象は $\widetilde S\to S, S\in\operatorname{Extr}_\kappa$ であり、

$$\bigl(\operatorname{Lan}_{i^{\operatorname{op}}}T\bigr)(\widetilde S) = \operatorname*{colim}_{S\in\mathcal I_{\widetilde S}}T(S)$$

と書ける。

よって、$\operatorname{Lan}_{i^{\operatorname{op}}}$ が $\lambda$-small limit と可換であることを示すには、各 $\widetilde S$ について $\mathcal I_{\widetilde S}$ が $\lambda$-filtered であることを示せばよい。 実際、$\lambda=\operatorname{cf}(\kappa)$ は regular cardinal であり、 $\operatorname{Set}$ において $\lambda$-filtered colimit は $\lambda$-small limit と可換する。