CM環の幾何学的直感について

Abstract

これは、数理の翼OB・OG会である「湧源クラブ」という団体で発行されている会誌「Le puits des puits」の2026年5月号に寄稿した内容を外部向けに少し修正し、公開したものになります。

内容は、代数学の中の Cohen-Macaulay 環 (CM環) というクラスの環の幾何学的な直感についてです。CM環は正則環よりも広いクラスの環でありながら、非孤立素因子を持たないなどの整った振る舞いをすることが知られています。今回の記事では、具体例を通して CM環の幾何学的なイメージを掴むことを目指します。なお、雰囲気を掴むことを目的としているので $\operatorname{Ext}$ といった derived な道具は一切使わないことにします。そのため、関連する scheme 論的な話である dualizing sheaf の話もしませんし、証明はすべて省略します。

本稿で使う主な記号

本稿では $k$ を体とする。また、ネーター環 $A$、イデアル $I\subset A$、有限生成 $A$-加群 $M$ に対して、記号の意味を次のように約束する。

1. $\operatorname{Spec}(A)$ は $A$ の素イデアル全体からなる空間である。
2. $V(I)$ は $\operatorname{Spec}(A)$ の閉集合

$$$$

を表す。たとえば $V(x)$ は $V((x))$ の略記である。

3. $A_{\mathfrak{p}}, M_{\mathfrak{p}}$ は素イデアル $\mathfrak{p}$ による局所化で>ある。特に $\mathfrak{m}$ が極大イデアルのとき、$A_{\mathfrak{m}}$ はその点における局所>環である。
4. $\operatorname{Supp}(M)$ は $M$ の台集合

$$\operatorname{Supp}(M):=\{\mathfrak{p}\in \operatorname{Spec}(A)\mid M_{\mathfrak{p}}\neq 0\}$$

であり、本稿では

$$\dim(M):=\dim(\operatorname{Supp}(M))$$

と約束する。特に環 $A$ 自身についての $\dim(A)$ は通常の Krull 次元である。 5. $\operatorname{Ass}_A(M)$ は $M$ の素因子全体である。 6. $\sqrt{I}$ はイデアル $I$ の根基、$A_{\mathrm{red}}:=A/\sqrt{(0)}$ は $A$ の被約環である。つまり nilpotent 元をすべて 0 にした環である。 7. $\operatorname{ht}(I)$ はイデアル $I$ の高さであり、$I$ を含む素イデアルの高さの最小値である。 8. 極大イデアル $\mathfrak{m}$ に対して $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ は cotangent space を表す。その双対が Zariski 接空間である。

深さと Cohen-Macaulay 性

定義

正則局所環の幾何学的意味は「その点が滑らかである」ことである。実際、剰余体を $k=A/\mathfrak{m}$ とすると、極大イデアル $\mathfrak{m}$ の最小生成元の個数は

$$\dim_k(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2)$$

に等しい。これはその点のまわりの一次近似、すなわち cotangent space の次元であり、その双対が Zariski 接空間になる。したがって正則局所環とは、空間の次元と接空間の次元が一致している局所環、すなわち幾何学的には特異でない点に対応する局所環である。

定義から、$\operatorname{depth}(M)$ は $M$ 上で零因子にならない元を何本続けて取れるかを測る不変量である。一般には

$$\operatorname{depth}(M)\le \dim(M)$$

が成り立つので、CM 条件 $\operatorname{depth}(M)=\dim(M)$ は「次元の分だけ正則列を取れる」という意味で、深さが可能な限り大きいことを表している。環の場合には $M=A$ とみればよい。したがって CM環とは、すべての極大イデアルで局所化したときに「深さが次元にぴったり一致する」ような環のことである。

CM性は正則性より弱い条件である。正則局所環ならば必ず CM局所環だが、逆は一般には成り立たない。したがって CM環とは「滑らかである」ことではなく、特異ではあっても depth と次元がよく揃った整った振る舞いを許す概念だと理解するとよい。

補足
ここで正則局所環と CM局所環の違いをまとめておく。正則局所環が表しているのは「接空間の次元がちょうど空間の次元に等しい」という滑らかさである。他方、CM局所環が表しているのは

$$\operatorname{depth}(A)=\dim(A)$$

という深さの最大性であり、こちらは特異点を許す。したがって

$$\text{正則局所環} \Longrightarrow \text{CM局所環}$$

だが逆は一般には成り立たない。正則局所環が「滑らかさ」を測る概念であるのに対して、CM局所環は「特異ではあっても余分な非孤立素因子を持たず、正則列が最大限に取れる」という整い方を測る概念だと見ると分かりやすい。

代表例 $R=k[x,y,z]/(xy)$

まず、代表例として

$$R=k[x,y,z]/(xy)$$

を考える。ここで $k[x,y,z]$ は体 $k$ 上の 3 変数多項式環であり、$(xy)$ は元 $xy$ が生成する主イデアルである。この環は 2 枚の平面が交線に沿って交わる特異な空間を与えるが、それでも CM環になる。

命題
$(A,\mathfrak{m})$ : CM局所環、$x_1,\dots,x_r\in \mathfrak{m}$ : $A$-正則列。
このとき、$A/(x_1,\dots,x_r)$ も CM局所環である。

系
正則局所環は CM局所環である。したがって、正則局所環を正則列で割って得られる局所環、特に 1 本の非零因子で割って得られる局所環は CM局所環である。

まずはこの命題と系を使って、$R$ が本当に CM環であることを確認する。任意の極大イデアル $\mathfrak{m}\subset R$ に対し、その逆像を $\widetilde{\mathfrak{m}}\subset k[x,y,z]$ とおくと

$$R_{\mathfrak{m}}\cong k[x,y,z]_{\widetilde{\mathfrak{m}}}/(xy)$$

である。ここで $\widetilde{\mathfrak{m}}$ は自然な全射 $k[x,y,z]\twoheadrightarrow R$ による $\mathfrak{m}$ の逆像であり、$k[x,y,z]_{\widetilde{\mathfrak{m}}}$ は周囲の 3 次元アフィン空間の対応する点における局所環である。また $k[x,y,z]_{\widetilde{\mathfrak{m}}}$ は正則局所環であり、しかも整域なので $xy$ は零因子ではない。したがって $R_{\mathfrak{m}}$ は「正則局所環 $k[x,y,z]_{\widetilde{\mathfrak{m}}}$ を 1 本の非零因子 $xy$ で割って得られる局所環」とみなせる。よって各 $R_{\mathfrak{m}}$ は CM局所環であり、$R$ は CM環である。

幾何学的には、$R$ は 3 次元空間の中で 2 枚の平面 $V(x),V(y)$ が交線 $V(x,y)$ に沿って交わる空間である。

この例は、正則局所環と CM局所環の差を具体的にも見せている。交線上の点

$$\mathfrak{m}_c=(x,y,z-c)\subset R$$

は、$c\in k$ に対して交線 $V(x,y)$ 上の閉点 $(0,0,c)$ に対応する極大イデアルである。添字 $c$ はその点の $z$ 座標を表している。この点で局所化すると

$$\dim(R_{\mathfrak{m}_c})=2$$

であるが、極大イデアル $\mathfrak{m}_cR_{\mathfrak{m}_c}$ の一次部分は $x,y,z-c$ の 3 方向を持つ。実際、関係式 $xy=0$ は 2 次式であって 1 次の関係を与えないので、

$$\dim_{k}\bigl(\mathfrak{m}_c/\mathfrak{m}_c^2\bigr)=3$$

となる。したがって $R_{\mathfrak{m}_c}$ は正則局所環ではない。幾何学的には、2 枚の平面が交差しているため、交線上では接空間が 2 次元でなく 3 次元に膨らんでいるのである。それでも $R_{\mathfrak{m}_c}$ は CM局所環である。ここに「正則ではないが CM である」という現象が現れている。

比較のため

$$A_{\mathrm{reg}}=k[u,v]_{(u,v)}$$

を固定する。これは平面 $\mathbb{A}^2_k$ の原点における局所環であり、その極大イデアルは

$$\mathfrak{m}_{\mathrm{reg}}=(u,v)A_{\mathrm{reg}}$$

である。

$$\dim A_{\mathrm{reg}}=2,\qquad \dim_k(\mathfrak{m}_{\mathrm{reg}}/\mathfrak{m}_{\mathrm{reg}}^2)=2$$

だから正則局所環である。これに対して $R_{\mathfrak{m}_c}$ では

$$\dim R_{\mathfrak{m}_c}=2,\qquad \dim_k(\mathfrak{m}_c/\mathfrak{m}_c^2)=3$$

となる。図 2 はこの差を模式的に表している。

図 2. 左は正則局所環 $A_{\mathrm{reg}}$ の模式図で、切断面は 1 本の直線に見え、接方向は 2 本しかない。右は $R_{\mathfrak{m}_c}$ の模式図で、切断面が十字に見え、接方向が 3 本に増えている。これが「CM だが正則でない」という差である。

左の正則局所環では接空間の次元が空間の次元と一致しているが、右の $R_{\mathfrak{m}_c}$ では 2 枚の平面が交差するために余分な接方向が現れ、そこが正則性の破れとして見えている。

次に定義の等式 $\operatorname{depth}=\dim$ がこの例でどう見えるかを、交線上の原点

$$\mathfrak{m}_0=(x,y,z)\subset R$$

における局所環で見る。実際、$\dim(R_{\mathfrak{m}_0})=2$ である一方、$z$ は $R_{\mathfrak{m}_0}$ の零因子ではなく、

$$R_{\mathfrak{m}_0}/zR_{\mathfrak{m}_0} \cong \bigl(k[x,y]/(xy)\bigr)_{(x,y)}$$

において $x+y$ も零因子ではない。したがって $z,x+y$ は $R_{\mathfrak{m}_0}$-正則列になり、

$$\operatorname{depth}(R_{\mathfrak{m}_0})=2=\dim(R_{\mathfrak{m}_0})$$

となる。同様に $\mathfrak{m}_c=(x,y,z-c)$ では $z-c,x+y$ を使えばよい。これがこの環が CM環であることの、depth を通した具体的な見え方である。

この計算は、CM局所環の一般論ともよく整合している。局所環では、CM性は「次元を測る元たちが正則列になること」と言い換えられる。

定義
$(A,\mathfrak{m})$ : ネーター局所環、$\dim A=d$。
元 $x_1,\dots,x_d\in \mathfrak{m}$ が パラメータ系 であるとは、イデアル $(x_1,\dots,x_d)$ が $\mathfrak{m}$-準素であることをいう。

命題
$(A,\mathfrak{m})$ : ネーター局所環。このとき次は同値である。

1. $A$ は CM局所環である。
2. あるパラメータ系が $A$-正則列である。
3. 任意のパラメータ系が $A$-正則列である。

言い換えると、CM局所環では「次元を削るための元」が零因子を作らずに並ぶ。上で見た $R_{\mathfrak{m}_0}$-正則列 $z,x+y$ は、その感覚をこの具体例で見せている。

この環の幾何は非常に見やすい。実際、

$$(xy)=(x)\cap(y)$$

が成り立つので、$R$ に対応する空間は $k$ 上の 3 次元アフィン空間の中の 2 つの座標平面 $V(x)$ と $V(y)$ の合併になる。言い換えると、方程式 $xy=0$ は「$x=0$ または $y=0$」を表しており、空間全体は 2 枚の平面が交線 $V(x,y)$ に沿って貼り合わさった形をしている。

では、交線の generic point に対応する $(x,y)$ がなぜ素因子にならないのだろうか。ここで使う一般事実は次である。

命題
$A$ : ネーター局所環、$M$ : CM加群。
このとき、$M$ の任意の素因子 $\mathfrak{p}\in \operatorname{Ass}_A(M)$ に対して

$$\dim(A/\mathfrak{p})=\dim(M)=\operatorname{depth}(M)$$

が成り立つ。

補足
上の命題から、局所環上の CM加群 $M$ は非孤立素因子を持たないことがわかる。

定義
$A$ : ネーター環。
$A$ が 純性定理 を満たすとは、任意の整数 $r\ge 0$ と任意の $r$ 個の元 $a_1,\dots,a_r\in A$ に対し、

$$I=(a_1,\dots,a_r),\qquad \operatorname{ht}(I)=r$$

ならば、$A/I$ の任意の素因子 $\mathfrak{p}\in \operatorname{Ass}_A(A/I)$ が

$$\operatorname{ht}(\mathfrak{p})=r$$

を満たすことである。言い換えると、期待される余次元 $r$ で切った閉部分 $V(I)$ には余分な非孤立素因子が現れず、すべての素因子が同じ余次元 $r$ をもつ。

定理
$A$ : ネーター環。このとき次は同値である。

1. $A$ は CM環である。
2. $A$ は純性定理を満たす。

系
$(A,\mathfrak{m})$ : CM局所環、$x_1,\dots,x_r$ : $A$-正則列、$I=(x_1,\dots,x_r)$。
このとき $A/I$ は CM局所環であり、そのすべての素因子は同じ次元

$$\dim(A)-r$$

をもつ。特に $A/I$ は非孤立素因子を持たない。

補足
これは「正則列で切ってできる閉部分は、期待される次元を保ち、余分な非孤立素因子を持たない」という純性現象である。有効型の幾何を思い浮かべれば、各既約成分は一様な余次元 $r$ をもち、切ったことで突然より高い余次元の成分が湧いてくることはない。ここに定理の局所的な現れがある。

ここで重要なのは、交線 $V(x,y)$ は 2 つの既約成分の交わりではあるが、それ自身が新しい既約成分ではないという点である。したがって素因子は各既約成分の generic point に対応する $(x)$ と $(y)$ だけであり、交線の generic point に対応する $(x,y)$ が素因子になるわけではない。この点で上の命題が働く。実際、もし $(x,y)$ が $R$ の素因子だとすると、$(x,y)$ を含む極大イデアル $\mathfrak{m}$ を取れば

$$(x,y)R_{\mathfrak{m}}\in \operatorname{Ass}_{R_{\mathfrak{m}}}(R_{\mathfrak{m}})$$

となる。ところが $R_{\mathfrak{m}}$ は CM局所環なので、命題により任意の素因子 $\mathfrak{p}\in \operatorname{Ass}_{R_{\mathfrak{m}}}(R_{\mathfrak{m}})$ は

$$\dim(R_{\mathfrak{m}}/\mathfrak{p})=\dim(R_{\mathfrak{m}})=2$$

を満たさなければならない。しかし

$$R_{\mathfrak{m}}/(x,y)R_{\mathfrak{m}} \cong (R/(x,y))_{\mathfrak{m}/(x,y)} \cong k[z]_{\mathfrak{m}/(x,y)}$$

であるから

$$\dim\bigl(R_{\mathfrak{m}}/(x,y)R_{\mathfrak{m}}\bigr)=1$$

となって矛盾する。したがって $(x,y)$ は $R$ の素因子ではない。CM環でもこのように、各極大イデアルで局所化した CM局所環の性質を通して見ると、成分どうしが交わっていても、その交わりの上に余分な素因子は現れない。

このことは純性定理ともきれいに対応している。実際、周囲の滑らかな空間 $k[x,y,z]_{\widetilde{\mathfrak{m}}}$ の中で方程式 $xy=0$ は 1 本の非零因子で切られているので、その零点集合は純粋に余次元 1 でなければならない。したがって現れる既約成分は 2 枚の平面 $V(x),V(y)$ だけであり、それらの交わりである $V(x,y)$ が余次元 2 の余分な成分として現れることはない。これは局所的には系の $r=1$ の場合にあたる。図 3 で赤く描いた交線が「見えてはいるが成分ではない」のは、まさにこの純性の現れである。

図 3. ここでも TikZ 図は省略している。内容としては、$R=k[x,y,z]/(xy)$ の中で 2 枚の座標平面 $V(x),V(y)$ が交線 $V(x,y)$ に沿って交わり、その交線は見えていても独立な既約成分ではない、という純性の様子を表している。

さらに scheme 的に見ると、$\operatorname{Spec}(R)$ の点は $R$ の素イデアルに対応している。図 3 中の $\eta_{(x)}$ は素イデアル $(x)$ に対応する点であり、その閉包が $V(x)$ なので $V(x)$ の generic point を表している。ここで $\eta_{(x)}$ という記号は「既約閉集合 $V(x)$ を代表する点」を表すための記号であって、座標をもつ通常の点ではない。実際、$\eta_{(x)}$ は閉点ではなく、その閉包がちょうど $V(x)$ 全体になる。言い換えると、$V(x)$ のどの非空開集合にも $\eta_{(x)}$ は含まれるので、これが $V(x)$ の最も generic な点である。同様に $\eta_{(y)}$ は $V(y)$ の generic point である。また赤い縦線は 2 つの平面の交線 $V(x,y)$ を表し、赤い点は見た目には交線上の一点として描いているが、実際には素イデアル $(x,y)$ に対応する点、すなわち交線 $V(x,y)$ の generic point を模式的に表している。この点が素因子ではないことが、「CM環では局所化して見ても非孤立素因子が現れない」という主張の具体例になっている。

また図 3 の灰色の切断面は各高さ $z=c$ の断面を表しており、そこで方程式 $xy=0$ は 2 本の直線 $x=0$ と $y=0$ の十字交差として見える。

非CMの場合との対比

ここまで見てきた「$\operatorname{depth}=\dim$」や「非孤立素因子が現れない」という性質が壊れると何が起きるかを見るために

$$A:=k[x,y,z,w],\qquad I:=(x^2,xy)\subset A,\qquad S:=A/I$$

を考える。また

$$\mathfrak{m}:=(x,y,z,w)/I \subset S,\qquad \mathfrak{p}:=(x,y)/I \subset S$$

とおく。ここで $\mathfrak m$ は $S$ の極大イデアルであり、$\mathfrak p$ は $S$ の素イデアルである。なお $\mathfrak p$ は極大イデアルではない。幾何学的には、$\mathfrak m$ は原点に対応し、$\mathfrak p$ は後で図に現れる 2 次元平面 $V(x,y)$ に対応する。

このとき

$$S_{\mathfrak{m}} = A_{(x,y,z,w)}/IA_{(x,y,z,w)}$$

である。さらに

$$\sqrt{I}=(x)\subset A$$

である。したがって

$$(S_{\mathfrak{m}})_{\mathrm{red}} \cong \bigl(A_{(x,y,z,w)}/IA_{(x,y,z,w)}\bigr)_{\mathrm{red}} \cong A_{(x,y,z,w)}/(x) \cong k[y,z,w]_{(y,z,w)}$$

となる。被約環にしても Krull 次元は変わらないので

$$\dim S_{\mathfrak{m}}=\dim (S_{\mathfrak{m}})_{\mathrm{red}}=3$$

である。一方、

$$S \cong \bigl(k[x,y]/(x^2,xy)\bigr)[z,w]$$

なので、$z,w$ の像は $S$ 上の正則列であり、とくに $S_{\mathfrak{m}}$ 上の正則列である。実際、

$$S_{\mathfrak{m}}/(z,w)S_{\mathfrak{m}}\cong k[x,y]_{(x,y)}/(x^2,xy)$$

であり、この商環では $\overline{x}\neq 0$ が $x$ と $y$ の両方で零化される。さらに極大イデアルは $x,y$ で生成されるので、極大イデアルの任意の元が $\overline{x}$ を零化する。したがって極大イデアルの中に正則元は存在せず、

$$\operatorname{depth}\bigl(S_{\mathfrak{m}}/(z,w)S_{\mathfrak{m}}\bigr)=0$$

となる。ゆえに

$$\operatorname{depth}(S_{\mathfrak{m}})=2<3=\dim(S_{\mathfrak{m}})$$

であり、CM 条件が破れるので $S$ は CM環ではない。

さらに

$$I=(x)\cap(x^2,y)\qquad \text{in } A$$

であるから、$\mathfrak{q}:=(x)/I \subset S$ が唯一の極小素因子であり、$\mathfrak{p}\subset S$ は非孤立素因子である。

ここでは上の命題の結論も壊れている。実際、$\mathfrak{p}\in \operatorname{Ass}_S(S)$ であるから局所化して

$$\mathfrak{p}S_{\mathfrak{m}} \in \operatorname{Ass}_{S_{\mathfrak{m}}}(S_{\mathfrak{m}})$$

となるが、

$$S_{\mathfrak{m}}/\mathfrak{p}S_{\mathfrak{m}}\cong k[z,w]_{(z,w)}$$

なので

$$\dim\bigl(S_{\mathfrak{m}}/\mathfrak{p}S_{\mathfrak{m}}\bigr)=2$$

である。しかし $\dim(S_{\mathfrak{m}})=3$ なので、もし $S_{\mathfrak{m}}$ が CM局所環なら命題により両者は一致するはずである。この不一致が、非CM性と非孤立素因子の出現を同時に示している。

幾何学的には、$S$ の台集合は 4 次元空間の中の 3 次元超平面

$$V(\mathfrak{q})=V(x)$$

であり、その中の 2 次元平面

$$V(\mathfrak{p})=V(x,y)$$

に沿って nilpotent な厚みが乗っている。これに対して $R=k[x,y,z]/(xy)$ では、2 枚の平面は交わっていても交線の generic point は素因子にならない。この違いが、CM環と非CM環の幾何の差をよく表している。言い換えると、$S$ では 2 次元平面 $V(\mathfrak{p})=V(x,y)$ に対応する非孤立素因子が純性定理の破れそのものとして現れているのに対し、$R$ では系に沿って余分な成分が現れない。

図 4. 非CM環 $S=k[x,y,z,w]/(x^2,xy)$ の模式図として、台集合は 3 次元超平面 $V(x)$ だけだが、その中の 2 次元平面 $V(x,y)=V(\mathfrak p)$ に対応する非孤立素因子 $\mathfrak p=(x,y)/(x^2,xy)$ が現れ、そこに nilpotent な厚みが乗る様子を描く。Markdown 版では図そのものは省略している。

図の赤い点は見た目の閉点ではなく、2 次元平面 $V(x,y)=V(\mathfrak{p})$ の generic point を模式的に表している。

おわりに

ここまで読んでいただきありがとうございます。内容に関してもし何かお気づきの点があれば、ぜひご指摘いただけると嬉しいです。今回は初等的な可換環論の話だけで CM環を定義して、その性質を見てきましたが、$\operatorname{Ext}$ などの derived な道具を使うと、CM環の性質がより自然に、そして簡明に見えるようになります。CM環より少し強く、重要な概念として Gorenstein 環というものがありますが、私の実力ではその説明をするのに derived な道具を使わざるを得ないので、そちらはまたの機会にでも……（先に $\operatorname{Ext}$などを幾何的に特徴づける話をしたいと考えています。）

文献案内です。Matsumura の 17 節の内容が今回の内容にあたります。読むためにはある程度ホモロジー代数の知識が必要です。ほとんど読んでいませんが、この本に続く内容としては Bruns–Herzog が定番の本だと思います。scheme-theoretic な内容は Liu や Hartshorne あたりが参考になると思います。私は Liu を読んでいますが、homological な言葉や categorical な言葉を避けて書かれているので不満が少しあります。Liu も Hartshorne も CM環や Gorenstein 環と関連した sheaf の面白い話はあまり出てこないので、そこは Goertz–Wedhorn で補えます。これは homological な言葉と categorical な言葉を多用しているので、そういう言葉に慣れている人にはおすすめです。より代数幾何的な内容では Badescu が有名ですが、私は読んでいません。私の友人が面白いと言っていました。

参考文献

1. 松村 英之, 可換環論, 共立出版, 2000.
2. Winfried Bruns and Jürgen Herzog, Cohen-Macaulay Rings, 2nd ed., Cambridge Studies in Advanced Mathematics 39, Cambridge University Press, 2009.
3. Qing Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves, Oxford University Press, 2002.
4. Robin Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, Springer, 1977.
5. Ulrich Görtz and Torsten Wedhorn, Algebraic Geometry II: Cohomology of Schemes, Springer Spektrum, Wiesbaden, 2023.
6. Lucian Bădescu, Algebraic Surfaces, Universitext, Springer, New York, 2001